解の一意性について。

質問

解の一意性とはどういう意味でしょうか？数学です。ご教授いただけないでしょうか？微分方程式です。

回答No.7

muturajcp · ベストアンサー

積分定数も任意定数も同じです

∫y(dy/dx)dx=∫xdx
の所で左右とも不定積分なのだから
(y^2)/2+c1=(x^2)/2+c2
(y^2)/2=(x^2)/2+c2-c1
y^2=x^2+2(c2-c1)

↓C=2(c2-c1)とすると

y^2=x^2+C

2(c2-c1)よりもCの方が文字数が少ないのでCと書くのです
無関係な質問はおやめください
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微分方程式の解の一意性とは
初期条件を定めれば解は1つに定まるという事なのです
では
何を1つの解というのかというと

例えば
yのxによる微分
dy/dx
についての微分方程式の場合は
yはxの関数だから
y=y(x)
と書ける1つの関数を
1つの解というのです
そしてこの場合の
初期条件とはある(x0,y0)に対して
y0=y(x0)
となります

例)
微分方程式を
dy/dx=2xy
とすると

y=0の時y=0

y≠0の時
(1/y)(dy/dx)=2x
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫2xdx
∫(1/y)dy=∫2xdx
log|y|=x^2+c
y=Ce^(x^2)

一般解は
y=Ce^(x^2)
だから

初期条件を
y(0)=C
とすると
Cを1つ定めればy=Ce^(x^2)は1つに定まるのです
だから
この場合は
初期条件に対する解の一意性が成り立つのです
---------------------------------------------
初期条件を定めても解は1つに定まらない
例)
微分方程式を
y(dy/dx)=x とすると
∫y(dy/dx)dx=∫xdx
(y^2)/2=(x^2)/2+c
y^2=x^2+2c
↓2c=Cとすると
y^2=x^2+C

初期条件を
y(0)=0
とすると
0=C
y^2=x^2

y=±x
となって
解は
y=x
と
y=-x
の
2つになるから
初期条件に対する解の一意性は成り立たない

回答No.6

muturajcp

微分方程式の解の一意性とは
初期条件を定めれば解は1つに定まるという事なのです
では
何を1つの解というのかというと

例えば
yのxによる微分
dy/dx
についての微分方程式の場合は
yはxの関数だから
y=y(x)
と書ける1つの関数を
1つの解というのです
そしてこの場合の
初期条件とはある(x0,y0)に対して
y0=y(x0)
となります

例)
微分方程式を
dy/dx=2xy
とすると

y=0の時y=0

y≠0の時
(1/y)(dy/dx)=2x
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫2xdx
∫(1/y)dy=∫2xdx
log|y|=x^2+c
y=Ce^(x^2)

一般解は
y=Ce^(x^2)
だから

初期条件を
y(0)=C
とすると
Cを1つ定めればy=Ce^(x^2)は1つに定まるのです
だから
この場合は
初期条件に対する解の一意性が成り立つのです
---------------------------------------------
初期条件を定めても解は1つに定まらない
例)
微分方程式を
y(dy/dx)=x とすると
∫y(dy/dx)dx=∫xdx
(y^2)/2=(x^2)/2+c
y^2=x^2+2c
↓2c=Cとすると
y^2=x^2+C

初期条件を
y(0)=0
とすると
0=C
y^2=x^2

y=±x
となって
解は
y=x
と
y=-x
の
2つになるから
初期条件に対する解の一意性は成り立たない

補足

Cはなぜ、積分定数ではなく任意定数なのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.5

muturajcp

微分方程式の解の一意性とは
初期条件を定めれば解は1つに定まるという事なのです
では
何を1つの解というのかというと

例えば
yのxによる微分
dy/dx
についての微分方程式の場合は
yはxの関数だから
y=y(x)
と書ける1つの関数を
1つの解というのです
そしてこの場合の
初期条件とはある(x0,y0)に対して
y0=y(x0)
となります

例)
微分方程式を
dy/dx=2xy
とすると

y=0の時y=0

y≠0の時
(1/y)(dy/dx)=2x
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫2xdx
∫(1/y)dy=∫2xdx
log|y|=x^2+c
y=Ce^(x^2)

一般解は
y=Ce^(x^2)
だから

初期条件を
y(0)=C
とすると
Cを1つ定めればy=Ce^(x^2)は1つに定まるのです
C1≠C2ならば
C1e^(x^2)≠C2e^(x^2)だから
解曲線y=C1e^(x^2)
と
解曲線y=C2e^(x^2)
は
交わらないのです
だから
この場合は
初期条件に対する解の一意性が成り立つのです
---------------------------------------------
初期条件を定めても解は1つに定まらない
例)
微分方程式を
y(dy/dx)=x とすると
∫y(dy/dx)dx=∫xdx
(y^2)/2=(x^2)/2+c

y^2=x^2+C

初期条件を
y(0)=0
とすると
0=C
y^2=x^2

y=±x
となって
解は
y=x
と
y=-x
の
2つになるから
初期条件に対する解の一意性は成り立たないのです

補足

なぜ、y∧2＝x∧2＋2Cにならないのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.4

f272

> 解の一意性ではない場合

こんな日本語はありません。解に一意性がない場合と言いたいのか？
解Aと解Bがあるとしたとき，必ずしもA=Bが成り立たなければ，一意性がないと言います。

回答No.3

muturajcp

微分方程式の解の一意性とは
初期条件を定めれば解は一意に定まるという事なのです
初期条件が異なれば解は異なるという事なのです
解が曲線の場合は
初期条件が異なる解曲線は交わらないということなのです

例)
微分方程式を
dy/dx=2xy
とすると

y=0の時y=0

y≠0の時
(1/y)(dy/dx)=2x
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫2xdx
∫(1/y)dy=∫2xdx
log|y|=x^2+c
y=Ce^(x^2)

一般解は
y=Ce^(x^2)

初期条件を
y(0)=1
とすると
y(0)=C=1
だから
y=e^(x^2)

初期条件を
y(0)=0
とすると
y(0)=C=0
だから
y=0

初期条件y(0)=1の時の解曲線y=e^(x^2)
と
初期条件y(0)=0の時の解曲線y=0
は
e^(x^2)>0
だから
交わらない

回答No.2

kiha181-tubasa

解はただ一通りに定まる（３次方程式は３つの解を持ちますが，その３つで一通り）という意味。
解についてはこの一意性と存在性が問題にされる。
解はあるのか？　存在性
一通りに決まるのか？　一意性
ですね。

補足

解の一意性ではない場合とは、どんな時でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

回答No.1

f272

解Aと解Bがあるとしたとき，必ずA=Bが成り立てば，一意性があると言います。

補足

解の一意性ではない場合とは、どんな時でしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。