連立方程式の解法

質問

連立方程式:

Ax=B
(A;係数行列、x;未知数、B;右辺行列)

において

detA = 0

であった場合、この解は一義的には定まらない
という事なのですが、
このことはSOR法などの反復法も
使えないと言うこと言ってるのですか？

detA = 0

の連立方程式はどうしても解けないのですか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

●determinant が定義できるということはAは正方行列。つまり未知の変数の数と式の数が丁度同じだけあるということですね。

●たとえば３つの変数を含み３つの式からなる連立一次方程式を考えましょう。それぞれの式は(x,y,z)の三次元空間における平面を表す。つまり第一の式に対応する平面というのは、その平面上の点がどれでも第一の式を満たす（解である）、そういう点の集合です。
　もしdeterminantが0でないならば、第一・第二の式の平面同士が交差する直線ができて、その直線と、第三の式の平面とが交差する点(x,y,z)。それが唯一の解になるわけです。

●で、determinantが0であるということは、Aは線形従属であることを表します。つまり、少なくとも１つの式は他の式の組み合わせで表せるということです。
たとえば x,y,zが実数であって
2 x + 3 y + 4 z = 15
3 x + 4 y + 5 z = 20
7 x + 10 y + 13 z = a
であれば、第三の式の左辺の係数は、('第一の式の２倍+第二の式)という線形従属関係にある。

すると２つの場合が考えられます。
(1) もしa = 35 (=10×2 + 15)であれば、第三の式は何も新しい情報を付け加えていない。第一の式と第二の式から必然的に分かることしか述べていない。だからこの式は無視して良い。そうすると、第一の式と第二の式を共に満たすような解(x,y,z)は無限個あって、どれでもよい。
　この場合、これら３本の式に対応する３枚の平面は同じ１本の直線で交差しています。従ってこの直線上のどの点であっても解になるわけです。こういうのを不定という。

(2) もしa≠35であれば、第三の式は、第一・第二の式と矛盾した事を述べている。従って、これら三本の式を同時に満たすような(x,y,z)は存在しません。
　３枚の平面は２枚ずつ組にして考えれば１本の直線で交わっている。つまり都合３本の直線がある。しかし、これらの３本の直線は平行であって、交差しない。だから、３つの平面が同時に交わるような点はありません。こういうのを不能という。

いずれにせよ、一通りの解(x,y,z)を得ることはできません。(1)の場合には解がないのでは無く、幾らでもある。(2)の場合には解がない。

お礼

ご丁寧に解答していただき
ありがとう御座いました。
また何かあればよろしくお願いします。

回答No.2

taropoo

Ａ＝
(a_11 a_12 …… a_1n)
(a_21 a_22 …… a_2n)
(…… …… 　　 ……)
(a_n1 a_n2 …… a_nn)

B＝
(b_1)
(b_2)
(… )
(b_n)

に対し、

Ａ~＝　　（本当は~はＡの上に書きます。）
(a_11 a_12 …… a_1n b_1)
(a_21 a_22 …… a_2n b_2)
(…… …… 　　 …… … )
(a_n1 a_n2 …… a_nn b_n)

を拡大係数行列といいます。Ａ~に対して左基本変形および最後の列以外の列の交換を何回か行うことによりＡ~は

Ｂ~=
(1 0 … 0 b_{1,r+1} … b_{1,n} d_1)
(0 1 … 0 b_{2,r+1} … b_{2,n} d_2)
(… … … … … … … … … … … )
(0 0 … 1 b_{r,r+1} … b_{r,n} d_r)
(0 0 … 0 0 … … … … … 0 d_r+1)
(… … … … … … … … … … … )
(0 0 … 0 0 … … … … … 0 　d_n)

に変形する事が出来ます。この時、左上から右下に向かって連続して並んでる1の個数は行列Ａの階数rです。

さて、方程式Ａx = Bですが、この方程式はＢ~において

d_r = d_r+1 = … = d_n = 0

の時に限って解を持ちます。その時の一般解は α_r+1, α_r+2, … ,α_n を任意定数として

x_1 = d_1 - b_{1,r+1}*α_r+1 - … - b_{1,n}*α_n
x_2 = d_2 - b_{2,r+1}*α_r+1 - … - b_{2,n}*α_n
…
x_r = d_r - b_{r,r+1}*α_r+1 - … - b_{r,n}*α_n
x_r+1 = α_r+1
x_r+2 = α_r+2
…
x_n = α_n

として表されます。よって解が一意に決まる条件は r = n である事です。
r = n とはＡが正則である事であり、即ち det A = 0 である事が必要十分条件です。

全部証明しているとかなり長くなっちゃうので結論だけ書きました。