総和の微分

質問

Σ(x_n)^2/(x_n + c)を最小にするxの組み合わせを見つけたいので、

xについて微分したいと思い、

x_1...x_nのそれぞれについて偏微分しようと思ったのですが、

偏微分した場合、Σ(x_n)^2/(x_n + c)を最小にするx1...xnの組み合わせを見つけることはできますか?

例えば、x1からx3まである場合、
Σ(x1)^2/(x1 + c) + Σ(x2)^2/(x2 + c) + Σ(x3)^2/(x3 + c)を最小にするx1, x2, x3の組み合わせを見つけたいです。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

最も簡単な、n=2 のときを考えてみます。
z=f(x, y)=x^2/(x+c) + y^2/(y+c). (c≠0, x>0, y>0)とします。このとき、
∂z/∂x=x(x+2c)/(x+c)^2, ∂z/∂y=y(y+2c)/(y+c)^2,
∂^2z/∂x^2=2c^2/(x+c)^3, ... , より、
f(-2c+h, -2c+k) - f(-2c, -2c)
={0*h+0*k}+(1/2!){(-8/c)h^2+(-8/c)k^2}
=(-4/c)(h^2+k^2).
となり、c<0 の場合はf(-2c, -2c)=-8c が最小値であることがわかります。
3変数、・・・ｎ変数のときも同様です。
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※実は、f(x1, x2, ..., xn) = Σ[i=1~n](xi)^2/{(xi)+c} においては、ｎ個の各有理関数はすべて１変数ゆえ、大げさな計算はいりません。

補足

丁寧な回答、ありがとうございます。
∂^2z/∂x^2=2c^2/(x+c)^3までは理解できたのですが、

f(-2c+h, -2c+k) - f(-2c, -2c)
={0*h+0*k}+(1/2!){(-8/c)h^2+(-8/c)k^2}
=(-4/c)(h^2+k^2).というのは、どのような計算をしているのですか？

また、c<0 の場合はf(-2c, -2c)=-8c というのは、どこから出てきたのでしょうか。

もし時間があれば、どちらかだけでも教えていただければ助かります。

回答No.2

gamma1854

f(x, y) において、∂f/∂x=∂f/∂y=0 となる点は(-2c, -2c)ではありませんか。・・・f に極値を与える候補
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偏導関数(2次は当然3種ある)を求め、(-2c, -2c) のときの値を使っています。(２変数関数のTaylor展開)

お礼

わかりました！
何度もありがとうございます。