ブラジウスの式の解き方

質問

初めまして。現在、流体力学の問題を解いておりますが、ブラジウスの式が関係する問題で、解き方がわかりません。ご助力よろしくお願い致します。

問題文
大きなタンクの水深1mのところに、内径0.03m長さ3mの滑らかな円管がついている。入り口損失係数を0.5とし、流出する流量を求めよ。ただし摩擦損失係数はブラジウスの式で算出せよ。水の密度、動粘度をそれぞれ1000[kg/m^3]、1.0×10^-6 [m^2/s]とする。

私の解答
タンク水面と円管出口にベルヌーイの定理を適用すると、
水面での速度０、２点とも大気圧であるため、
1-h=u^2/2g
である。

そして損失ヘッドをブラジウスの式を用いて求め、先の式に代入したところ、
33.35u^(7/4)+2.5u^2-19.6=0
この式が出てきました。

これの解き方が一切わかりません……。

この解き方でいいのか、そもそも管入り口と出口で速度が違ったりするのか、などと訳がわかりません。教科書やネットを沢山拝見しましたが、どうもわからないままで困っております。どなたかよろしくお願い致します。

回答No.1

ddtddtddt · ベストアンサー

まず確認ですが、管内流速uの方程式の導出の流れは、以下で良いですか？。

　ベルヌーイの定理：
　　Hab－He－Hf＝u^2/2/g
　　　ここに、
　　　　a：タンクの自由水面
　　　　b：管の開放端
　　　　Hab：aとbの位置水頭差
　　　　He：入口損失水頭
　　　　Hf：まさつによる損失水頭（管内）
　　　　u：管内流速（管路を仮定）

　入口損失水頭：
　　He＝k×u^2/2/g
　　　ここに、
　　　　k：入口損失係数

　ブラジウスの式ってあまり使った事がないんですが。たいていもっと簡単なマニングの式でやるもので(^^;)。

　まさつによる損失水頭：
　　Hf＝λ×L/D×u^2/2/g×L
　　　ここに、
　　　　λ：損失係数
　　　　L：管路の長さ
　　　　D：管径

　ブラジウスの式：
　　λ＝0.3164×Re^(－1/4)
　　　ここに、
　　　　Re：レイノルズ数

　レイノルズ数：
　　Re＝uD/ν
　　　ここに、
　　　　ν：動粘性係数

　これらを全てベルヌーイの式に持ち込むと・・・添付図の左側上段。
　整理して・・・添付図の左側中段。
　L＝3 m，ν＝1.0×10^(-6) m^2/s，D＝0.03 m，k＝0.5，g＝9.8 m/s^2，Hab＝1 mを代入すると・・・添付図の左側下段。

　あれぇ～微妙に係数が違うぞぉ～。でもまぁ～同じ形になったという事で、以後、添付図の式を使わさせていただきます(^^;)。
　この問題が学校のレポートやテストで出されたものなら「ひどいなぁ～」とは思いますが、これはもうグラフでも書いてuを求めるしかありませんよ。少なくとも計算機もPCもなかった時代は、そうしてたはずです(^^)。

　グラフを書くと・・・添付図の右側上段。

　という訳で、u＝1.6 m/sくらい。私の計算では(^^;)。ちなみにu^(7/4)なんて、u^(8/4)＝u^2とそんなに違わないよねと、u^(7/4)をu^2で近似して計算してみると、(7.21236＋1.5))u^2－19.6＝0からu＝1.499892で概ねu＝1.5 m/sになりました。これでも良いかも知れませんね(^^)。

　次にタンクと管内の流れの概要ですが、損失がない場合のベルヌーイの式は、

　　[速度水頭]＋[圧力水頭]＋[位置水頭]＝[初期水頭]（タンク自由水面の位置水頭）

というのはご存じと思います。タンク内の流れにはふつう損失無しを仮定しますから、上記が成り立ちます。静水の場合は[圧力水頭]＋[位置水頭]が常に[初期水頭]に等しいので、[速度水頭]は0であり、ここから水深に比例した静水圧が導かれます。
　静水でない場合は、[位置水頭]の減少が[圧力水頭]の増加を上回るので、余った分が[速度水頭]にまわり、傾向としては管の入口めがけて流速は加速して行きます。

　で、管に入った途端に等速になるんですよ(^^;)。

　どうしてかと言うと、水は非圧縮性なので入った分だけ出ていく必要があります。そうすると管内の流量Q＝Au （単位：m^3/s，A：断面積）が場所によらず一定でないと、流入／流出収支が合わなくなって「どこかに真空が出来ちゃいますよね？」って発想です。なので管路では、断面積が変化しない限り流速一定とみなします。というか、これが管路の基本仮定です。
　管に入った瞬間、使える全水頭である[初期水頭]は入口損失分減ります。さらにまさつによる損失（ブラジウスの式）で、管路を進めば進むほど[初期水頭]は減っていきます。そこで流れはだんだん遅くなると考えたくなるんですが、さっき言ったように管内流速は一定です。という事は、[位置水頭]＋[圧力水頭]が減ります。いま管は水平なので管の高さを基準に取れば、すでに[位置水頭]＝0です。従って[圧力水頭]が減ります。[圧力水頭]は流末に向かって減っていき、開放端である流末で圧力0になって、残った水頭が[速度水頭]に化けて噴出するという構図です。

　損失があれば[速度水頭]に対する貯金である[初期水頭]は減るので、流末速度uは損失無しの場合より必ず小さくなるはずです。よってuの最大として損失無しのベルヌーイ式　u^2－19.6＝0　からumax＝4.427 m/sが得られます。添付図のグラフの横軸が5 m/sまでしかないのはそのためです。
　uの方程式のu^(7/4)をu^7に直すには、全体を4乗する必要があるので、厳密にやればuの方程式は8次方程式です。8次方程式は最大8個の解を持ち、その内の一つが求めるものです。グラフを書くと、0＜u＜umaxの範囲で解はu＝1.6に1個しかなかったので、「それで良いのさ」という事になります(^^)。

お礼

ご回答ありがとうございます。

本当にわかりやすい内容で助かりました。一人だとずっと解けなかったと思います……。

お恥ずかしいことに混乱して連続の式のことを忘れていました。非圧縮性だから連続の式が成り立ち、管内では速度一定なのでしたね。

タンク内での加速の原理も理解できました。

このグラフを用いた解法は、損失がある場合の速度は損失なしの速度を上回ることはない、と言う前提でその間に存在するuを求めたのですね！

改めまして、本当にありがとうございました。