証明問題

質問

『１つの定理の仮定にはいくつもの条件が含まれていることがある。そのような場合には、仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえると逆が１つできる。まず、次の事柄が正しいことを証明し、上のことに注意してこの逆がいくつできるかを考えよ。また、それが正しいかどうかも調べよ。
∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき（・）∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ、（・）ＯＡ＝ＯＢならば（・）ＰＡ＝ＰＢ』

上記の問題が分かりません。証明もそうですが、逆というのはいくつぐらいできるものでしょう。

回答No.4

stomachman

No.2ではちょっと走りすぎました。stomachman反省。もう少し平易にやりなおします。
＊以下、￢は否定、∧は「かつ」、∨は「または」、⇒は「ならば」です。

　常識的にはnozomi500さんの仰るとおりだと思うんですよ。
　でも、この問題では『仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえると逆が１つできる。』というんですから、出題者は「仮定」というのをx⇒yのxのことではなく、この論理式が成り立つ条件、すなわち文脈（この場合、文脈には『∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき』が含まれています）にまで広げて解釈している。つまり文脈をzとして、
zが成り立つとき、a∧b⇒c
という（開いた）論理式を、x=(a∧b), y=cと読むだけではなく、たとえば
z∧aが成り立つとき、b⇒c　　（aを文脈に含めて考える）
z∧bが成り立つとき、a⇒c　　（bを文脈に含めて考える）
という読み方も許しているのは、明らかだと思うんですよ。
　これを許すことは（nozomi500さんの仰るとおり）普通やらない。だから設問がおかしい。でも、そういう読み方を許すことにしてみたらどうなるか。

　許すことにしても構いません。まるでへいちゃらです。
　しかし許す以上は、（・）が付いていない条件や、全然書いてないけれど前提としていると考えられる条件（これらはすべて文脈zに含まれると解釈できます）の勝手な部分dを取り除いたモノz'（つまり(z'∧d)=z）を考え、代わりにa∧bの方を文脈に入れ、元の定理と等価な
z'∧a∧bが成り立つとき、 d⇒c
という論理式を作っても何ら差し支えない筈です。（なぜなら：「z∧bが成り立つとき、a⇒c」は「zが成り立つとき、a∧b⇒c」と同義だと言うんですから、「z'∧(a∧b)が成り立つとき、 d⇒c」は「(z'∧d)が成り立つとき、a∧b⇒c」と同義でなくてはならない。）

　こうしても、もちろん都合の悪いことは何もおこりません。むしろ、問題に明記していなかった条件dを「仮定」として明確に認識できるから、結構な事です。
　しかしながら、「明記してない条件」の表し方は色々ありえますから、こういう論理式はいっぱいできる。さらに上記のdの所に任意の恒真式t（たとえば1+1=2)を持ってきても良い。ゆえに、元の定理と等価な論理式は、無限個作れる。
　無限個作れるものを『いくつできるかを考えよ』と問うのは無茶です。やっぱり設問がおかしい。

　普通『仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえると逆が１つできる。』という考え方を採らないのは、こういう事情だからであろうと思われます。

●なお、この話は多分noname#669さんが求めているレベルを超えていると思いますから、
> 出題者（質問者じゃないですよ）に対する揚げ足取りです。
と断ったんです。もし出題者（先生？）に質問なさる機会でもあれば、と思いまして。