証明問題

質問

『１つの定理の仮定にはいくつもの条件が含まれていることがある。そのような場合には、仮定の条件の内の１つと結論とをいれかえると逆が１つできる。まず、次の事柄が正しいことを証明し、上のことに注意してこの逆がいくつできるかを考えよ。また、それが正しいかどうかも調べよ。
∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき（・）∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ、（・）ＯＡ＝ＯＢならば（・）ＰＡ＝ＰＢ』

上記の問題が分かりません。証明もそうですが、逆というのはいくつぐらいできるものでしょう。

回答No.1

a1107r

「次の事項」は
「∠ＸＯＹ内の１点をＰ、辺ＯＸ、ＯＹ上の点をそれぞれＡ、Ｂとするとき
∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰかつＯＡ＝ＯＢならば
ＰＡ＝ＰＢである」
として考えてます。

簡単に考えてみます。
∠ＸＯＰ＝∠ＹＯＰ・・・甲
ＯＡ＝ＯＢ・・・乙
ＰＡ＝ＰＢ・・・丙
として、
その問題は「甲かつ乙なら丙である」ということですよね。
仮定条件の一つと結論を入れ替えると例えば「乙かつ丙なら甲である」となり、これが正しいかを確かめればいいわけです。他にどんな組み合わせができるでしょうか？

もうちょっとひねくれて考えると、例えば「∠ＸＯＹ内の１点をＰとする」っていうのも仮定の一つであるから、これも結論と入れ替えて考えてみても面白いです。

「次の事項」の証明については、点Ｐは甲の条件から、∠ＸＯＹの角度を２等分する線上にあるから…あとはがんばりましょう。

…ところで、「∠ＸＯＹ内の点Ｐ」というのは、狭い角度の側にある、ということでいいんですよね。