三次関数の最小値問題の解法を教えてください

質問

f(x)=x^3-6x^2+9x
で、
xの範囲が(a≦x≦a+2)のときの
最小値を求めよ。

すみません、よろしくお願いします!!

回答No.5

kiha181-tubasa · ベストアンサー

f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)

x　　　　　　　1　　　　　　3　　　
f'(x)　　＋　　　0　　－　　　0　　＋
f(x)　　増加 　　4　　減少　　0　　増加

この増減表を基にグラフを書いて，区間[a,a+2]をスライドさせて考えます。

このとき
aを-∞から+∞まで変化させるときに，区間[a,a+2]の両端x=a,x=a+2での値が同じ値になるときのつまりf(a)=f(a+2)となるときのaの値を調べておく必要が生じます。

ここで
f(a)=f(a+2)
とおくと
a^3-6a^2+9a=(a+2)^3-6(a+2)^2+9(a+2)
……中略……
3a^2-6a+1=0
a=(3±√6)/3
（※0<(3-√6)/3<1,1<(3±√6)/3<3ですね。念のため）

これでグラフと区間[a,a+2]の関係で最小値は次のように求められます。
（１）a＜(3-√6)/3の場合
最小値は
f(a)=a^3-6a^2+9a

（２）(3-√6)/3≦a＜1の場合
a+2＜3であるから最小値は
f(a+2)=(a+2)^3-6(a+2)^2+9(a+2)=a^3-3a+2

（３）1≦a＜3の場合　　（区間[a,a+2]内にx=3がある）
最小値は
f(3)=0

（４）a≧3の場合
最小値は
f(a)=a^3-6a^2+9a

となります。

回答No.4

asuncion

最初のうちだけに限らず、この手の問題は
「必ず」グラフをかきましょう。あ、そもそも、
かけますよね？グラフ。

お礼

ありがとうございました。最初のうちじゃなくて数十年ぶりでした。グラフも書けます。

回答No.3

nihonsumire

最初のうちは、グラフを描いてみることが大切です。xの増加に伴ってf(x)が大きくなるのか小さくなるのかは、x^3の係数で判断できます。次に、原点を通るのか通らないのかを調べて、概略図を描いて考えることです。

お礼

ありがとうございました。最初じゃないです。数十年ぶりでした。

回答No.2

asuncion

＞a=(3 - √3)/3.
aの範囲によって場合分けするんじゃないですか？
例えば、aがず～っと左の方にあれば、最小値はf(a)とか。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

重要な点は、f(a)=f(a+2) となる a が必要なことです。
グラフをかき、縦線2本を「幅=2」を保って動かして考えてください。
ーー
a=(3 - √3)/3.

お礼

ありがとうございました。