証明

質問

凸な角錐の頂点Ｐに会する各多角形の,内角の和は４直角より小さい。（原論）
証明はむずかしいのでしょうか。
証明以外でわかりやすく合っていることを説明可能でしょうか。
もちろん証明さえあれば説明はいりませんが。

回答No.2

sashichan · ベストアンサー

多角形の各内角が全て１８０度未満（星型等ではない）場合で、
多角錐の頂点から下ろした垂線の足が多角形の中にある場合。

底面の多角形の角頂点をＡ，Ｂ，Ｃ・・・とし、多角錐の頂点をＴとする。
Ｔから底面に下ろした垂線の足をＱとする。
多角形の各頂点とＱを結ぶと、Ｑに会する角度の合計は３６０度（４直角）である。
ここで、多角形の辺ＡＢに注目し、角度ＡＱＢと角度ＡＴＢを比較する。
三角形ＡＱＢと三角形ＡＴＢは以下の関係にある。

辺ＡＢは共通なので当然長さは同じ。
辺ＡＱ＜辺ＡＴ・・・（高さが解ればこの２数の関係は三角関数から明らか）
辺ＢＱ＜辺ＢＴ・・・（　　同上　　）

上記条件より、角度ＡＴＢ＜角度ＡＱＢ

多角形の他の辺についても同様の事が言え、それらの合計同士の比較をすると、

Ｔに会する角度の合計＜Ｑに会する角度の合計＝３６０度（４直角）

こんなんでどうでしょう？

お礼

納得いく説明,感服いたしました。
すっきりいたしました。今夜はもう暑くもなく、よく眠れそうです。どうもありがとうございました。

回答No.1

BBblue

点Ｐに会する各多角形の、内角の和
　　↓
点Ｐに会する、各多角形の内角の和

展開図の、頂点Ｐの周辺をイメージしてください。
内角の和が４直角＝360°以上になるということは・・・

お礼

ありがとうございました。

補足

紙を折って、織り込んで錐を作ると、凸出ない部分がでてくるので,証明に凸性をうまくつかうんだなということは想定できましたが。イメージだけでは今ひとつピンときませんでした。