あり得ない角度

質問

4角形ABCDにおいて、∠ABC=90°,∠CBD=40°,|BC|=|BD|であるとき,
∠CAD=50°となるのはあり得ないのではないでしょうか?

回答No.8

staratras · ベストアンサー

ついでに∠DACのとり得る最大値を求めてみました。幾何的(作図的）には三点D,A,Cを通る円がy軸に接するとき∠DACが最大になります。約41.3°です。

計算で求めるには、AB=x、BC=BD=1とするとD(cos40°,sin40°)だから、
三角形DACに余弦定理を適用すれば、（中略）次の式となります。(x>0)

cosDAC≒(2x^2-1.2856x+1.532)/(2√(x^2-1.2856x1)√(x^2+1))

この式はx≒0.18847　のとき最小値　約0.75071をとります。
cosDAC=0.75071 から∠DACの最大値　約41.348°を得ます。
当たり前ですが作図解と一致して、一件落着！

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.7

178-tall

参照 URL をご覧ください。
　　↓　ラングレーの問題

参考URL：

http://www.himawarinet.ne.jp/~rinda/framepage1.html

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.6

staratras

はい、あり得ません。厳密には数値計算で示せますが、下の図のように考えると直感的に理解できます。Aをｙ軸上、Bを原点、Cを(便宜上）(1,0)にとります。
ここで、∠DEC=50°となるような点Eをx軸上にとります。

ここで3点ECDを通る円を考えると、円周角は等しいので∠DAC=50°となる点Aはこの円周上になければなりません。しかし計算するとBC=1のときBE≒0.227くらいあって、この円はとてもy軸には届きません。∠DACは50度にはなり得ません。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.5

asuncion

添付図の∠CBD = 40°が
正しいのであれば、ぱっと見、
∠CAD = 50°に近い感じがしますよね。
そこで、∠ABC = 90°を保ったまま
点Aを上下に移動させれば、どこかで∠CAD = 50°になる
場所が見つかるのではないか、と思います。
試行錯誤するのはめんどうなので、当方は控えます。

回答No.4

asuncion

証明するのは、その仮説を提示したご自身です。

回答No.3

asuncion

このやりとりではダメなんでしょうか。

参考URL：

https://okwave.jp/qa/q9744630.html

お礼

回答ありがとうございます。
BDとACの交点をPとすると
∠DPC=140°-∠ACB
と
なぜいえるのでしょうか?

回答No.2

asuncion

∠CBD = 40°, BC = CDより
二等辺三角形BCDの形状は決まりますね。大きさはわからんけど。
∠ABC = 90°になるようにAを決めていきます。Bの真上というだけでどこになるかはわからんけど。
そうすると、Aをうまく決めれば、∠CAD = 50°になるAが存在する、と考えるのは
素人の浅はかさでしょうか。そうではないように思います。

お礼

回答ありがとうございます。
では
∠CAD=50°となるAが存在する事を証明してください
そのときの∠ACBを求めて下さい

回答No.1

中京区 桑原町（@a4330）

ACかADの長さが決まってないので∠CADは不定です。
添付図を見てください、∠CADは限りなく40°に近い

お礼

回答ありがとうございます。
では
∠CADは50°になることはあり得ないという事でよろしいでしょうか?
∠CADの最大値はどのくらいになるでしょうか?