数列の問題

質問

次の和を求めよ。(^n(2,3)はn(2,3)乗)
１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)

　という問題で、解答が
求める和をＳとおくと
　Ｓ＝１＋３x＋５x^2＋７x^3＋・・・・・＋(２n－１)x＾(n－1)　・・・※
　↓　xをかけて
　↓
　xＳ＝１x＋３x^2＋５x^3＋７x^4＋・・・・・(２n－３)x^(n－1)＋(２n－１)x＾n
　(１－x)Ｓ＝１＋２x^2＋２x^3＋・・・・・＋２x^(n－1)－(２n－１)x＾n
　∴(１－x)Ｓ＝２＋２x^2＋２x^3＋・・・・・＋２x^(n－1)－(２n－１)x＾n－１　・・・※※(これは初項２、公比xの等比数列の和と気づこう！)

　よって、x≠１のとき　(１－x)Ｓ＝２(１－x^n)／(１－x)－(２n－１)x^n－１
　右辺を通分して整理し、さらにＳ＝・・・・・のかたちにすると
　(１－x)Ｓ＝{２(１－x^n)－(２n－１)x^n・(１－x)－(１－x)}／(１－x)　・・・※※※
　Ｓ＝{(２n－１)x^(n＋1)－(２n＋１)x^n＋x＋１}／(１－x)^2　・・・※※※※
また、x＝１のときは、※より
　Ｓ＝１＋３＋５＋７＋・・・・・＋(２n－１)＝n^2
　　(これは等差数列のn個の和！)

と書いてありますが、自力で理解できなくて困っています。特に最初の方の※※までの変形がさっぱりわかりません。どなたか詳しく教えてください！お願いします(>_<)

回答No.6

graduate_student · ベストアンサー

少し深呼吸をしましょう.
(1-x)S=2＋2x^2＋2x^3＋・・・・・＋2x^(n－1)-(2n-1)x^n
です.
ここまでいいですか？
そして，bmiyuzさんが気にかかっている2(1－x^n)/(1－x)は「2＋2x^2＋2x^3＋・・・・・＋2x^(n－1)」までを表しています.
ここまでいいですか？
つまり，
(1-x)S=2＋2x^2＋2x^3＋・・・・・＋2x^(n－1)-(2n-1)x^n
=2(1－x^n)/(1－x)-(2n-1)x^n
となります.
これでいいですか？

お礼

はい、理解できました！私が考え直したところは一応合っていたのだと思います。私の説明がわかりにくくてご迷惑をおかけしました(>_<)

これから何度も数学の質問をすると思うので、また答えていただける機会がありましたら、そのときはよろしくお願いしますm(__)m近くに聞ける人がいないので、本当に助かりました。何度も何度も補足にも答えてくださって、本当にありがとうございました！！