• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

数学の証明問題

  • 質問No.9727315
  • 閲覧数168
  • ありがとう数2
  • 回答数2

お礼率 58% (35/60)

数学の証明問題の解答を見出せずに悩んでいます。
問題は二等辺三角形であることの証明問題です。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 30% (22/72)

https://jsciencer.com/higschmath/kikagaku/6638/
ここの2つ目(重心)にヒントがあります。

辺BD=辺CE
BCは共通
中央の交点を「O」とする。

△BOEと△CODが合同であることを証明すればよいのですから、
頂点から2辺の中心に線を下した時、交わるの長さは頂点から2:1である。
辺BD=辺CEであることから、
辺BO=辺COであり、辺EO=辺DOである。
∠ECBと∠DOCは対角で等しい。
∠ECB=∠DOC
2辺と間の角度が同じであるから、△BOEと△CODが合同である。
△BOE=△COD
これから、
辺EBと辺DCの長さが等しくなり、点Eと点Dはそれぞれの中点であることから
辺AB=辺AC
2辺の長さが等しいので、△ABCは二等辺三角形である。

ですね。
お礼コメント
taka246890

お礼率 58% (35/60)

ご解答有難うございます。
簡単そうに見えて難問なんですね。
詳細な解答、ありがとうございます。
投稿日時:2020/03/25 18:18

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 39% (996/2495)

この問題は「見かけは易しそうなのに実は難しい」典型的な問題です。

二つの三角形、△EBCと△DCBが合同であることを示せれば「一件落着」なのですが、実はそれがBDとCEが「角の2等分線」の場合は容易ではないのです。仮にBDとCEが「垂線」や「中線」であったとすれば簡単ですが…。

そこで、解法としては次の3通りが考えられます。
1、背理法で(初等幾何)で解く(∠B>∠Cとして矛盾を導く)
2、BD、CEの長さをもとの三角形ABCの辺の長さの式で表し、BD=CEからAB=ACを導く
3、座標幾何を使って考える

1、は面倒な計算はありませんが、柔軟な発想が必要で、2と3はかなり面倒な計算量なので、計算でゴリゴリやるのが苦にならない人向きです。

なおこの問題は「シュタイナー・レームスの定理」と呼ばれる問題です。
お礼コメント
taka246890

お礼率 58% (35/60)

詳しい解説有難うございます。
参考にさせていただきます。
投稿日時:2020/03/25 18:17
関連するQ&A

その他の関連するQ&Aをキーワードで探す

ピックアップ

ページ先頭へ