複素平面 数III

質問

絶対値が1である複素数zと正の整数nがz^n-z+1=0を満たしているとする。
(1)
|z-1|を求めよ。
(2)
Zはz=(1+√3i)/2,(1-√3i)/2に限られることを証明せよ。
(3)
Nを6で割ったときの余りは２に限られることを証明せよ。

(1)は式変形で何とかなったのですがそれ以降がわかりません。
解説願います。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

一応(1)から
(1)
z^n = z-1から、|z|^n = |z-1|より、|z-1|=1
(2)
図形的には、|z| = 1というのは zが原点を中心とする半径1の円上、|z-1| = 1というのはzが1を中心とする半径1の円上にあることを意味するから、その交点を求めればよい。
式変形でしようとするなら、zの複素共役をいまyと書くことにすると、|z|=1より zy=1。|z-1| = 1より (z-1)(y-1) = 1。従って zy - y - z + 1 = 1。従って y+z = 1。従って、根と係数の関係から、y, z は t^2 - t + 1 = 0の根となる。
(3)
z^2 - z + 1 = 0より zは虚数。又、（両辺に z+1をかけて）z^3 + 1 = 0。従って z^3 = -1。よってz^6 = 1。
z=1は z^2 - z + 1 = 0を満たさないから、z≠1。
またz=0はz^2 - z + 1 = 0を満たさないから、z≠0であるから z^2 = 1-z≠1。
z^3 = -1 ≠ 1
z^4 = z^3 * z = -z は虚数であるから、z^4≠ 1。
z^5 = -z^2 = = -(1-z)はは虚数であるから、z^5 ≠ 1

今、nを6で割った商をL, 余りをmとおけば、n=6L+mであって、z^n = z^(6L+m) = z^m である。z^m = 1-z = z^2 であるが、z^m - z^2 = z^(m-2) - 1 = 0 、従ってz^(m-2) = 1 となる mは、m=2の時しかない。

お礼

丁寧な解答ありがとうございます。