ベクトル解析

質問

3つのベクトルa=(1,1,1)、b=(2,3,4)、c=(3,2,α)が同一平面内にある時のαの値を求めたいと思います。
　私は平面を、
ax+by+cz=1
とおいて、ベクトルa,bを上式に代入してa,bを消去し、
(2+c)x-(1+2c)y+cz=1
としてみました。
　しかし、ここからどのような操作をしてよいか分かりません。方針自体が間違っているのでしょうか。
　解き方をご存知の方、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#59057 · ベストアンサー

ベクトルａ,ｂ,ｃが同一平面上にあるということは、
「ａ,ｂの一次結合でｃが表せる」と考えた方が速いのでは？
つまり、s,tを実数として「sａ+tｂ＝ｃ」となるようにs、tの値を定めることができればいいわけです。

sａ+tｂ＝s(1,1,1)+t(2,3,4)の成分が(3,2,α)となるように、
各成分の連立方程式を解けばαは決められます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　教えていただいた方法で解いてみました。
　s(1,1,1)+t(2,3,4)=(s+2t,s+3t,s+4t)=(3,2,α)より連立方程式が、
s+2t=3
s+3t=2
s+4t=α
となるから、これを解いてs=5,t=-1,α=1と求められる。
　重ね重ねお聞きして申し訳ありませんが、一次結合というのは、平面上で成り立つ法則なのでしょうか。

回答No.5

tenro

ベクトルの外積をご存じでしたら、次のように考えて解くこともできます。
a×b=aとbの作る面に垂直なベクトル
aとbの作る面内にあるベクトルcはa×bに垂直（内積が0）

お礼

ご回答ありがとうございます。
　教えていただいた方法で解いてみました。
外積a×b=(1,-2,1)
内積(a×b)・c=(1,-2,1)・(3,2,α)=3-4+α=0
よってα=1
内積と外積の意味を知っているとそのような解き方もできますね。ありがとうございました。

回答No.4

noname#59057

No1で回答した者です。

詳しいことは大学の「線形代数」で扱うのでしょうけど、
大学での数学は、私自身がすっかり忘れてしまいましたので(汗)　高校の内容にそってお答えします。

平面の場合、２つの平行でなくゼロではないベクトルａ,ｂを適当に用意すると、
平面上のベクトルはどんな位置にあろうと、必ずその２つのベクトルａ,ｂと実数s,tを用いて
　＜　ｓａ＋ｔｂ　＞の形で表すことができます。
平面上の全てのベクトルを表す基にしているａ,ｂのことを"基底"といったりします。
で、基底の実数倍を足し合わせたこの形のことを"一次結合"といったりします。

専門用語はさすがに出ていませんが、
概念自体は教科書に載ってますから、確認してみるとよいかと思いますよ。

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「２つのベクトルで平面を作る」というのは、感覚的にはですね、、、
鉛筆を２本と紙（本とか下敷きとか硬いもの）用意して、
で、指で２本の鉛筆をちょっと開いた状態で持ってみてください。
そうすると２本の鉛筆の上に紙を載せれますよね？
つまり、２本の鉛筆（これが基底）で平面を作り出したわけです。

ところが、鉛筆が３本になると、
上手くしないと紙が３本にきちんと接しているような状態はなかなか作れないですよね？
この問題は「２本の鉛筆がすでにあるときに、３本目をうまく作りなさい」という問題だったわけです。

イメージ沸きましたか??

お礼

再びご回答ありがとうございます。
　大変分かりやすく的確な説明でよく理解できました。「基底」という言葉は線形代数ではよく出てきますが、happeyさんの説明を読んで自分がその意味をよく理解していないことに気づきました。さらに問題の意味もよく理解していませんでした。今までは問題を解くための勉強だけしかして来なかったので、解いたことがない問題は全くできない状態です。これからは用語や公式などの意味を理解しながら勉強したいと思いました。

回答No.3

noname#17965

原点が同一平面内になければならない理由

ベクトル、、、、というか「２本の矢印」を思い浮かべて下さい。２本の矢印が同一平面上にあるためには、矢印の始点と終点、合計４点が全部同一平面上にあればいいですね。３本の矢印でも同じです。問題文のベクトルは始点が原点なので、原点も同一平面上になる必要があります。

お礼

再びご回答ありがとうございます。
　大変分かりやすい説明でよく分かりました。3つの「点」ではなく、「ベクトル」が同一平面内にあるから原点を通らなければならない、という解釈でよろしいでしょうか。

回答No.2

noname#17965

「ベクトル」が同一平面内にある条件です。
例えばベクトルａを考えると、原点（０，０，０）を始点とし、終点（１，１，１）の矢印です。だから平面は原点と点（１，１，１）の両方を通る必要があります。残り２本のベクトルも始点は原点です。つまり、問題を言い換えると「原点と、点（１，１，１）と点（２，３，４）と点（３，２、α）が同一平面内にあるようにαの値を決定せよ」ということです。要するに平面は原点（０，０，０）も通る必要があります。

平面の一般式は、ax+by+cz+d=0　で表されます。
この平面が４点全部を通るようにa,b,c,d,αを決めれば答えです。ヒントを言うと、原点を通るのでx=y=z=0を代入すると、まずd=0が求まります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　教えていただいた方法でといてみたところ、
a+b+c=0
2a+3b+4c=0
3a+2b+αc=0
という3つの方程式が立てる事ができ、これを解くと
α=1
となりました。
　始点である原点が同一平面内になければならない理由を、できればもう少し詳しく教えていただけないでしょうか。