数学の問題を教えてください。

質問

Xは内積空間である。
1.A⊂XがXで稠密であるとするとA⊥＝｛0｝であることを示せ。
2.∀x⊆X,(x,0)＝(0,x)＝0

回答No.1

tmppassenger

1.
選択公理を使わなくてもいけるかもしれないが、ここでは使う。
任意の x∈A^⊥を取る。.A⊂XがXで稠密、即ちAの閉包がXであるから、Aの点列 (x(n)) (∀n∈N, x(n)∈A)で xに収束するものがある（選択公理）。この時、
<x,x> = lim(n→∞）<x(n),x> = lim(n→∞）0 = 0
となるから x=0でなければならない。

2.
(x,0) = (x, 0+0) = (x,0) + (x,0)。(0,x)の方も同様。