周囲が一定の図形で面積が最大のものは何か

質問

という問題ですが、どのように考えるかヒントをいただければと思います。ｎ角形だったら正ｎ角形かなと想像しました。ｎが無限なら円かなと思いますが、どのように考えるか理論の道筋がわかりません。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

「周囲の長さが一定の曲線のうち最大の面積を囲むものは円である」という定理を厳密に証明するのは、相当面倒です。

ただし「面積を最大にする閉曲線が存在する」…（１）ということを前提にすれば、ヤコブ・シュタイナーという19世紀の数学者による「蝶番（ちょうつがい）の証明」と呼ばれる、直感的にわかりやすい証明があります。

もちろん（１）は数学的には自明な事柄ではないので上の証明は不完全ですが、その点を承知していれば、興味深い方法です。

お礼

やはりかなり難しそうですが、参照させていただきます。

回答No.3

gamma1854

簡単な問題ではありません。(等周問題)
１つの証明としては、
曲線の周囲を x=f(s), y=g(s), (0≦s≦L, s:個長, f, g はＣ1級) とすると、
面積Ｓは、
S=∫[0~2pi]y*(dx/dt)dt
であり、ｘ、ｙをtのFourier級数に展開し、
x=a[0]+Σ[n=1~∞]|a[n]*cos(nt)+b[n]*sin(nt)},
y=c[0]+Σ[n=1~∞]|c[n]*cos(nt)+d[n]*sin(nt)}, とおくと、
S/pi=Σ[n=1~∞]n*{b[n]*c[n] - a[n]*d[n]},
....
L^2 - 4pi*S≧0. が得られます。
ここで、等号成立の場合を考えると、
a[0], c[0], a[1] = -d[n], b[1] = c[1], 他はすべて０．すなわち、
x=a[0]+a[1]*cos(t)+b[1]*sin(t), y=c[0]+b[1]*cos(t) - a[1]*sin(t).
となり、「円」であることが判明します。
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ご自身で研究してみてください。

お礼

想像以上に難しい問題なのですね。立ちすくんでしまいました。しかし貴重なご教示なので、取り組んでみたいと思います。

回答No.2

qwe2010

２角形
３角形　
正三角形と。２等辺三角形の違い
４角形
正方形と、長方形の違い
５角形
6角形

上記の周囲を１mとして、面積を計算すれば、わかると思います。
その計算は、基礎に当たる計算、何事も基礎ができていないと、理解できません。

もう一つの方法として、
ペットボトルに、水を入れて、周りを直線状にへこませていきます。
４角形にへこませるとか、３角形にへこませるとか。
水があふれれば、高さは、同じなので、面積が減ったのがわかります。

お礼

実験や計算を通して推測することは比較的簡単にできるのですが、理論的に証明できる方法があるのだろうと思っています。

回答No.1

notnot

縦もしくは横に平べったいほど面積が小さくなります。もしくは斜めでも同じですが、とにかくどっちかの方向に平べったいと狭いです。

ということで、一番平べったくないもの、つまり、どちらの方から見ても同じ幅
というのが一番面積が大きくなります。

お礼

輪にしたひもで考えてみるとなるほどと思いますね。