素数の性質

質問

「素数は、２と３を除いて、すべて６ｎ±１という形をしている」と何かの本で読んだ
ことがあるような気がするのですが、これは正しい（証明されている）のでしょうか？
確かに、いくつか試してみたらその通りなので、不思議に思っています。
ご存じのかた、よろしくお願いします。

回答No.2

HitomiKurose · ベストアンサー

６ｎの形の数、は２の倍数でもあり３の倍数でもあり、素数ではありません。
６ｎ＋２＝２（３ｎ＋１）なので２の倍数（ｎ＝０の時は２）
６ｎ＋３＝３（２ｎ＋１）なので３の倍数（ｎ＝０の時は３）
６ｎ＋２＝４（３ｎ＋２）なので２の倍数（ｎ＝０の時は２）

よって、２,３以外の素数は６ｎ±１の形になります。

お礼

ありがとうございました。
すっきりした説明で、よくわかりました。

回答No.5

shine_life

他の方が明確な証明をされていますので別の角度から考えますが、
例えば、素数は偶数（２を除く）ではないと言うことは理解できると
思います。つまり素数は２ｎ＋１と表現されます。
６ｎ±１も全く同意だといえます。

６ｎ±１であることは素数であるための必要条件です。
正直な所、必要条件なので６ｎ±１であっても素数とは限らないので
特に役に立つものではありませんが、これから代数学を学ぶので
あれば証明の仕方を覚えておけば非常に意義深いと思います。

お礼

ありがとうございました。参考になりました。

回答No.4

leaz024

数を並べ上げて、２と３の倍数を塗りつぶすと分かりやすいと思いますよ。

１　●　●　●　５　●　７　●　●　●　11　●　13　●　●　●　17　●　19　●　●　●　・・・

当たり前ですが、
●　数　●　●　●　数
↑　　　　　　　　　　　　　↑
６の倍数　　　　　　　　　６の倍数
の繰り返しになります。

素数である可能性の残っている「数」の部分は、必ず「６の倍数」の隣にいますから、「６ｎ±１」で表せるのです。

お礼

ありがとうございました。
確かに図で書くとわかりやすいですね。参考になりました。

回答No.3

siegmund

nを自然数として
(1)　　6n が素数でないのは自明．
(2)　　6n±2 = 2(3n±1)
(3)　　6n±3 = 3(2n±1)
から，素数は 6n±1 に限られるのは明らかでしょう．

この分類に含まれないのは２だけですね．

また，(3)の 6n-3 の方で，n=1 のとき(つまり，３)は
2n-1 = 1 となってしまいますから，これも別に扱わないといけません．
これ以外は，3n±1 および 2n±1 は２以上の自然数になります．

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。

回答No.1

taranko

『２と３以外の素数は、６で割ると余りは１か５となる』
言い換えると『２と３以外の素数は、６ｍ±１となる』
なんだか難しそうだが、『２と３以外の素数は、２の倍数でも３の倍数でもない』
という簡単な事実を数学的に表現しているに過ぎない。

と言う文が参考資料の中にありました。
素数について色々ありましたので、
一度見てみてください。

参考URL：

http://www.yin.or.jp/user/ushioku/hide/mathlib2/prime.htm

お礼

ありがとうございました。大変参考になりました。