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解決済み

素数の性質

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お礼率 98% (53/54)

「素数は、2と3を除いて、すべて6n±1という形をしている」と何かの本で読んだ
ことがあるような気がするのですが、これは正しい(証明されている)のでしょうか?
確かに、いくつか試してみたらその通りなので、不思議に思っています。
ご存じのかた、よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 38% (54/141)

6nの形の数、は2の倍数でもあり3の倍数でもあり、素数ではありません。
6n+2=2(3n+1)なので2の倍数(n=0の時は2)
6n+3=3(2n+1)なので3の倍数(n=0の時は3)
6n+2=4(3n+2)なので2の倍数(n=0の時は2)

よって、2,3以外の素数は6n±1の形になります。
お礼コメント
ysk6406

お礼率 98% (53/54)

ありがとうございました。
すっきりした説明で、よくわかりました。
投稿日時 - 2001-06-28 16:01:37
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  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 21% (516/2403)

『2と3以外の素数は、6で割ると余りは1か5となる』 言い換えると『2と3以外の素数は、6m±1となる』 なんだか難しそうだが、『2と3以外の素数は、2の倍数でも3の倍数でもない』 という簡単な事実を数学的に表現しているに過ぎない。 と言う文が参考資料の中にありました。 素数について色々ありましたので、 一度見てみてください。 ...続きを読む
『2と3以外の素数は、6で割ると余りは1か5となる』
言い換えると『2と3以外の素数は、6m±1となる』
なんだか難しそうだが、『2と3以外の素数は、2の倍数でも3の倍数でもない』
という簡単な事実を数学的に表現しているに過ぎない。

と言う文が参考資料の中にありました。
素数について色々ありましたので、
一度見てみてください。
お礼コメント
ysk6406

お礼率 98% (53/54)

ありがとうございました。大変参考になりました。
投稿日時 - 2001-06-28 16:00:37


  • 回答No.3
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

nを自然数として (1)  6n が素数でないのは自明. (2)  6n±2 = 2(3n±1) (3)  6n±3 = 3(2n±1) から,素数は 6n±1 に限られるのは明らかでしょう. この分類に含まれないのは2だけですね. また,(3)の 6n-3 の方で,n=1 のとき(つまり,3)は 2n-1 = 1 となってしまいますから,これも別に扱わないといけません. これ以外 ...続きを読む
nを自然数として
(1)  6n が素数でないのは自明.
(2)  6n±2 = 2(3n±1)
(3)  6n±3 = 3(2n±1)
から,素数は 6n±1 に限られるのは明らかでしょう.

この分類に含まれないのは2だけですね.

また,(3)の 6n-3 の方で,n=1 のとき(つまり,3)は
2n-1 = 1 となってしまいますから,これも別に扱わないといけません.
これ以外は,3n±1 および 2n±1 は2以上の自然数になります.
お礼コメント
ysk6406

お礼率 98% (53/54)

ありがとうございました。よくわかりました。
投稿日時 - 2001-06-28 16:02:51
  • 回答No.4
レベル12

ベストアンサー率 75% (398/526)

数を並べ上げて、2と3の倍数を塗りつぶすと分かりやすいと思いますよ。 1 ● ● ● 5 ● 7 ● ● ● 11 ● 13 ● ● ● 17 ● 19 ● ● ● ・・・ 当たり前ですが、 ● 数 ● ● ● 数 ↑             ↑ 6の倍数         6の倍数 の繰り返しになります。 素数である可能性の残っている「数」の部分は、必ず「6の倍数」の隣にいますか ...続きを読む
数を並べ上げて、2と3の倍数を塗りつぶすと分かりやすいと思いますよ。

1 ● ● ● 5 ● 7 ● ● ● 11 ● 13 ● ● ● 17 ● 19 ● ● ● ・・・

当たり前ですが、
● 数 ● ● ● 数
↑             ↑
6の倍数         6の倍数
の繰り返しになります。

素数である可能性の残っている「数」の部分は、必ず「6の倍数」の隣にいますから、「6n±1」で表せるのです。
お礼コメント
ysk6406

お礼率 98% (53/54)

ありがとうございました。
確かに図で書くとわかりやすいですね。参考になりました。
投稿日時 - 2001-06-28 16:04:06
  • 回答No.5
レベル5

ベストアンサー率 25% (1/4)

他の方が明確な証明をされていますので別の角度から考えますが、 例えば、素数は偶数(2を除く)ではないと言うことは理解できると 思います。つまり素数は2n+1と表現されます。 6n±1も全く同意だといえます。 6n±1であることは素数であるための必要条件です。 正直な所、必要条件なので6n±1であっても素数とは限らないので 特に役に立つものではありませんが、これから代数学を学ぶので あれば ...続きを読む
他の方が明確な証明をされていますので別の角度から考えますが、
例えば、素数は偶数(2を除く)ではないと言うことは理解できると
思います。つまり素数は2n+1と表現されます。
6n±1も全く同意だといえます。

6n±1であることは素数であるための必要条件です。
正直な所、必要条件なので6n±1であっても素数とは限らないので
特に役に立つものではありませんが、これから代数学を学ぶので
あれば証明の仕方を覚えておけば非常に意義深いと思います。
お礼コメント
ysk6406

お礼率 98% (53/54)

ありがとうございました。参考になりました。
投稿日時 - 2001-06-28 16:06:21
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