台形公式について。

質問

次の問題で、なぜ、f(x)＞0ではなく、なぜ、f(x)≧0なのでしょうか？教えていただけると幸いなのですが。すみません。

回答No.3

asciiz · ベストアンサー

＞私が、引っかかるのは、切れ目なくつながっているという一文です。
＞f(x)＝0の場合そうはならないと思うのですが。

「切れ目なく繋がっている(関数)」というのは、変化が連続的であり、途中で飛んだりしていない、ということを指していますね。
例えば関数に一定数を増減すると、グラフ全体を上下に並行移動することになります。
そのときx軸と接触あるいは交わっても、グラフ自身の「連続性」は失われたことにはなりません。
ですから、f(x)=0となるxが存在し、その関数グラフがx軸に接触したとしてもやはり、「切れ目なくつながって」います。
「f(x)≧0である」という条件と、「切れ目なく繋がっている(関数である)こと」は別の事象であり、矛盾することにはなりません。

＞台形の上辺と下辺が0になる三角形が生じるのでしょうか？
＞教えていただけると幸いなのですが。図で、示していただけないでしょうか？

すいませんそこ気になっちゃいましたか。
台形公式における「台形」は、90°曲がってます。
台形の面積の公式「(上辺+下辺)×高さ÷2」において、「上辺」と「下辺」に当たるのは、微小区間の四辺形の、左辺と右辺に当たります。
f(x)=0となる場合を許すと、左辺または右辺の長さが0になる、すなわち三角形が生じる場合もある、という話でした。
特に気にしないでいただいて構いません。

回答No.2

asciiz

学習する者に、「マイナス領域は考えなくても良い」という条件を提示することで、「『台形』公式」を「考察しやすく」しているものだと思います。

実際、「マイナス面積」という考え方ができるなら、f(x)＜0の部分があったとしても公式として成り立っています。
つまり初めから「f(x)≧0」なんていう条件は余計なものであり、「f(x)＞0」という条件にしても意味の差はなく、どちらでも構わないでしょう。

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ただしいきなり、f(x)＜0 の場合があることも考慮せよといった場合、x軸より下になった台形の面積はどう考えるのか、あるいはx軸と交差してつづみ形になった場合の考え方は違ってくるのか、など、悩む人が出るかもしれません。
実際はその場合でも、微小区間の面積の式を変える必要はなく、そのまま足して良いわけで、式変形の過程にも影響は出ません。
そして積分の結果出てきた面積は、x軸より上の面積合計から、x軸より下の面積合計を引いた値になります。

それが素直に理解できるなら、「f(x)≧0」条件は忘れてしまってもいいですし、「え? x軸の下にも目に見える面積があるじゃん? これ足すんじゃないの?」と悩む人がいるなら、「あー、では、とりあえず関数グラフはx軸より下に行かないことにしましょう」ということで、台形公式の意義を理解してもらう、それが「f(x)≧0であるとする。」という一文ってことになるのではないかと…。

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もうちょっと余談

そちらのペーパーにある通り「f(x)≧0」とした場合、台形の上辺あるいは下辺が0になる「三角形」が生じる場合も出てきます。
ですが、三角形に対しても台形の公式で面積を求められますから、微小区間の面積の式を場合分けしたりする必要はない、と言えるでしょう。※言い訳っぽいな…

本当に辺が4つある「台形」の区間のみ考えてみろと言うのであったら、「f(x)＞0」という条件にする方が適切だった、とは言えますね。

補足

私が、引っかかるのは、切れ目なくつながっているという一文です。f(x)＝0の場合そうはならないと思うのですが。教えていただけると幸いなのですが。すみません。あと、余談のところで、なぜ、台形の上辺と下辺が0になる三角形が生じるのでしょうか？教えていただけると幸いなのですが。図で、示していただけないでしょうか？

回答No.1

asuncion

どっちでもいい気がする。。。