偶数と奇数の和は奇数になることを説明しなさい
中2の数学の問題です。
問題：
偶数と奇数の和は奇数になることを説明しなさい。
問題集の解答で疑問に思う点がありましたので質問させていただきます。
解答：
m,nを自然数とすると偶数は2m、奇数は2n-1と表せる。
2数の和は、
2m+2n-1=2(m+n)-1
m+nは自然数だから2(m+n)は偶数になり、2(m+n)-1は奇数になる。
よって偶数と奇数の和は奇数である。
（証明終わり）
上記証明でわからない点が2点あります。
(1)m,nをなぜ自然数に限定しているのか。
m,nは一般に整数ではないのでしょうか？中学レベルではマイナスの数も
偶数、奇数が定義できると思うので、私はこのm,nは整数と置くのが正しい
答え方だと思うのですが、いかがでしょうか？
(2)もしm,nが自然数と置くのが正しいとしたとき、奇数を2n+3とおいてしまうと
3(n=1)から始まる奇数になり一般に自然数全体で証明したことにならないの
ではないかという疑問があります。
2m+2n+3=2(m+n+1)+1
このような解答も見かけます。
文字式の計算上は奇数といえますが、nが自然数で奇数を2n+3とおいても
問題ないのでしょうか？
ご回答よろしくお願いします。
お礼
早速拝見いたします。2で割り切れるかどうかというようなことに深い意味があるのかというような素朴な疑問です。