• ベストアンサー

集合の問題で教えてください

tmppassengerの回答

回答No.2

やっぱり問題を理解してない気がする... この問題の意図は、先程も書いたように、C(複素平面)のある勝手な部分集合Dが与えられた上で、「『Dの』開集合」とはどういう定義か?を理解しておかないと、問題の意図が理解できません。もう一度確認しますが、『Dの』開集合の定義は理解していますか?

mathematiko
質問者

お礼

回答ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 空集合は開集合であることの証明が納得できません

    X は距離空間とする。 部分集合 U ⊂ X について,U のどの点をとっても,正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ U が成立するとき,U は開集合であるという。 このとき次の定理とその証明が書いてありました。 (i) X 自身および空集合は開集合である. (ii) 有限個の開集合 U1, ..., Un の共通部分 U1∩・・・∩ Un は開集合である. (iii) 開集合の族 Uλ (λ ∈ Λ) について,和集合 ∪(λ∈Λ) Uλ は開集合である. 証明 (i) X が開集合であることは明らかである.空集合については,属する点がないのであるから,開集合の条件を満たしていると考えることができる. (ii) 任意の点 x ∈ U1∩ ・・・∩ Un をとると,各 i について,x ∈ Ui である.したがって,正数 εi が存在して,Bεi(x) ⊂ Ui となる.そこで,ε = mini { εi } とおけば,Bε(x) ⊂ U1∩・・・∩ Un となり,U1∩・・・∩ Un が開集合であることがわかる. (iii) 任意の点 x ∈ ∪(λ∈Λ)Uλ をとれば,ある λ があって,x ∈ Uλ となる.このとき,ある正数 ε が存在して,Bε(x) ⊂ Uλ⊂ ∪λ∈ΛUλ となるので,∪(λ∈Λ)Uλ は開集合である. ---------------------------------- 上記の証明において、 空集合は開集合であることの証明が納得できません。 空集合は開集合であることは、開集合の定義の前提条件が成り立たなくて、偽なので、全体としては真になるのでしょうか? それとも、空集合は開集合であるというのは、定義にすべきことがらなのでしょうか? できれば論理的に詳しくお願いいたします。

  • 論理・集合の内包関係

    直感的な疑問がふと湧きましたので質問させていただきます。 不可逆命題「a⇒b」においてa,bを集合A,Bと考えるとA⊂Bが成り立つと思います。 このとき集合Bは集合Aより大きい集合となっているはずです。 命題の中には可逆命題(つまりA⇔B)もありますが不可逆命題が少なくとも1つは存在することは明らかだと思います。 以上の議論からあらゆる命題を考えると不可逆命題が存在する限り"仮定"の集合より"結論"の集合のほうが大きくなっているのではないかと思います。 しかし"仮定"の集合と"結論"の集合は同じ条件を共に持てるから大きさは同じなはずで矛盾しています。 なぜでしょうか?

  • 集合についての問題です。

    大学で集合の勉強を始めました。 そこで下記の命題の証明をどうしたらいいのかわからないので教えてください。 命題1:A⊂BならばA-C⊂B-Cであり、D⊂CならばB-C⊂B-Dである。 命題2:次式はいずれもA⊂Bと同値である。 (1)A∪B=B (2)A∩B=A (3)A-B=ø (4)A∪(B-A)=B (5)A=B-(B-A) 証明をお願いします。教えてください。

  • 集合の問題です。

    直積集合の問題です。 次の命題を証明したいのですが…教えてください!! 命題:AをXの部分集合、BをYの部分集合とすれば、等式 (X×Y)-(A×B)=((X-A)×Y)∪(X×(Y-B)) が成り立つ。 この証明をしてください。お願いします!!

  • 空集合の扱い方について

    とっても読みにくい文章になってしまいましたが、回答お願いします。記述の仕方のささいな誤りは見逃してください… 「P(x)を満たす任意のx∈R(実数)がQ(x)を満たす。」という命題(命題1)について、 P(x)を満たすxが存在しないとき(つまり、{x∈R|P(x)}=Φのとき)、この命題は真だと説明されました。 理由としては、 「この命題が偽ならば、P(x)を満たすがQ(x)を満たさないxが反例として存在するはずだが、P(x)を満たすようなxはそもそも存在しない。よって真である。」 ということらしいのです。 そこで、Q(x)の否定をR(x)として、「P(x)を満たす任意のxがR(x)を満たす。」(命題2)の真を同様に証明することもできるのでしょうか? もしできるのなら続けて質問があります。 P(x)を満たすxの集合をS、Q(x)を満たすxの集合をTとすると、命題1が成り立つとき、SはTに含まれています。Sが空集合の場合を考えると、空集合は任意の集合の部分集合である、といえます。(これは授業でやりました) しかし命題2が成り立つならば、SはTに含まれていません。空集合はどの集合にも含まれない、ということになりますよね。 空集合は任意の集合の部分集合であると同時に、どの集合にも含まれないという理解で良いのでしょうか? また、Q(x)=(x≦u)とすると、「SはTの部分集合である⇔uはSの上界である」となり、命題1をこれまでと同様に命題1をあてはめると、任意の実数uは空集合Φの上界である。となり、命題2をあてはめると任意の実数uは空集合Φの下界である。ということになりますが、これも上と同様の、任意の実数uは空集合Φの上界であり、下界である、というふうに理解したのでよいですか?

  • 集合の問題で、

    U={a,b,c,d}の2つの部分集合A,Bをもとにして、 補集合、和集合、共通集合、これら6集合が互いに、 異なるようなA,Bの条件を説明し、例をしめせ。上記 6集合を要素とする集合Pを考え、例に対して、集合P をUの要素a,b,c,dで表現せよ、 という問題がでたのですが、 6集合というのは、 ¬A  ¬B (A∧B) (A∨B) ¬(A∧B) ¬(A∨B) の要素があって、そして、問題 はそれぞれの要素がちがえばいいのしょうか? ¬A ={c,d} ¬B ={a,d} (A∧B)={b} (A∨B)={a,b,c} ¬(A∧B)={a,c,d} ¬(A∨B)={d} のように。 そして、ベン図をもちいて、でっかい四角Pの 中に、〇を2つ書いて上の集合にあてはまるように 要素を描けばいいのでしょうか? どうでしょうか?

  • 集合と論理の問題です

    こんにちは。 集合と論理の問題で、頭を抱えております。 どなたか、分かりやすい解説をおしえていただけませんか。よろしくお願いします。 問 ・AならばBである。 ・AでないならばCである。 ・DでないならばCでない。 以上の3つの命題から正しく導かれる結論は、次のうちどれか。 (1)BでないならばDである。 (2)CならばBでない。 (3)DならばBでない。 (4)CならばBである。 (5)BならばDである。 正解は(1)となっております。

  • 数学の命題の問題です。

    数学の命題の問題です。 次の命題を論理式で書き、真偽を調べよ。さらに、その証明を与えよ。 ここでは、Xは空でない普遍集合とし、P(A)はAのべき集合をあらわす。 「Xの部分集合Aに対してP(A∪B)=P(A)∪P(B)となるXの部分集合Bが存在する」 回答よろしくお願いします。

  • 開集合

    a=(a1,a2,…,an)がR^nに含まれδ>0のとき Bδ(a)={x;||x-a||<δ} は開集合であることを示せ。 この問題なんですけど 与式=Dとすると点aのδ近傍はDに含まれるので点aはDの内点で任意の点なのでDは開集合である で合ってますか?あんま自信ないもんで…間違っていたらご教授願います。

  • 集合の問題について

    集合Aと集合Bがあり、集合A(補集合を含む)を包み込む形で集合B が存在しているってどういう意味ですか?