逆、裏、否定、対偶

質問

基本的なことなのですが、命題の逆、裏、否定、対偶が分からなくなりました。

１．簡単な例で『Ａ⇒Ｂ』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

２．ちょっと高度な例で、『∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0)』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

例は挙げません。以下、￢は否定(not), ∧は論理積(and), ∨は論理和(or)です。

●A⇒B の
　　逆は B⇒A
　　裏は ￢A⇒￢B
　　対偶は ￢B⇒￢A
です。
●さて、A⇒Bとは ￢(A∧￢B) の意味です。
●また、
・￢￢A は Aと等価。
・￢(A∧B) は (￢A∨￢B) と等価
・￢(A∨B) は (￢A∧￢B) と等価
ですから、これらを使うと、A⇒B は (￢A∨B)とも等価であり、￢B⇒￢A とも等価であることが分かります。同様にして B⇒A は (￢B∨A) と等価で ￢A⇒￢B とも等価です。 さらに ￢(A⇒B) は (A∧￢B) と等価であることが分かります。

●命題論理について、その他に知っておくべきルールとしては
・A∧B は B∧A と等価
・A∨B は B∨A と等価
・A∧(B∧C) は (A∧B)∧C と等価
・A∨(B∨C) は (A∨B)∨C と等価
・A∧(B∨C) は (A∧B)∧(A∧C) と等価
・A∨(B∨C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価
があります。

●一階述語論理に関しては、
・∃xP(x)の否定 ￢(∃xP(x)) は ∀x(￢P(x))と等価
・∀xP(x)の否定 ￢(∀xP(x)) は ∃x(￢P(x))と等価
・∃x∃yP(x,y)は∃y∃xP(x,y)と等価
・∀x∀yP(x,y)は∀y∀xP(x,y)と等価
があります。

●さて、
∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0)
というのは略記法です。これをきちんと書くと
∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)
ということになります。

これは中に⇒を含んでいますが、全体としてはA⇒Bの形をしてませんから、対偶というものは考えられません。しかし否定なら考えられますね。
￢(∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0))　は
∃ε￢(∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0))　と等価で、これは
∃ε∀δ￢(∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0))　と等価で、これは
∃ε∀δ∃x￢(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0))　と等価で、これは
∃ε∀δ∃x(|x|<δ∧￢(|f(x) - 0|<0))　と等価で、これは
∃ε∀δ∃x(|x|<δ∧|f(x) - 0|≧0)　と等価です。

　なお、(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)の部分はA⇒Bの形をしていて、これは対偶￢B⇒￢Aと等価ですから、
∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)　は
∀ε∃δ∀x(|f(x) - 0|≧0⇒|x|≧δ) と等価。

補足

体調が悪かったのとプリンタの無い環境にいた事と、まあ個人的な事情ですがそんな訳で読破するのに丸１日かかってしまいました。
返事が送れて申し訳ありません。

まず虫繕いから。
masuo_kunさんのご指摘にもありますように、
> 『∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0)』
は
> 『∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<ε)』
の表記ミスでした。失礼いたしました。
また、stomachmanさんの
> ・A∨(B∨C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価
は
> ・A∨(B∧C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価
かと思われます。

所でstomachmanさん、等価である事を全て日本語で「等価である」と書かれていますが、等価である事を表す記号は無いんですか？
例えば(A⇒B) ⇔ (￢(A∧￢B))などと書いてはいけないのでしょうか？
「等価」と「同値」とは別物ですか？

> ￢(∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0))
から
> ∃ε∀δ∃x(|x|<δ∧|f(x) - 0|≧0)
に至る過程はドミノ倒しを見ているようで心地よかったです。

ところで
> 全体としてはA⇒Bの形をしてませんから、対偶というものは考えられません。
との事ですが

> 　なお、(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)の部分はA⇒Bの形をしていて、これは対偶￢B⇒￢Aと等価ですから、
> ∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)　は
> ∀ε∃δ∀x(|f(x) - 0|≧0⇒|x|≧δ) と等価。

これは対偶と呼ばないのですか？それは定義ですか？そう定義する理由って何でしょう？
というは単純なA⇒Bの場合、￢B⇒￢A（対偶）が言えればA⇒Bが言えるわけでしょう。
上の例でもそれは同じ事。だったら対偶と定義してしまって良さそうな気がするのですが。
条件付き（∀ε∃δなど）で逆、裏、対偶を定義した時、何か支障でも出てくるのでしょうか？

回答No.5

stomachman

stomachman恒例の蛇足です。

●∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0)
という論理式に何もおかしな所はありません。∀ε∃δと書いたからって、その後にεやδが出てくる義理なんぞありゃしないし、ましてこの論理式の真偽など問うてはいないんですから。

No.2について
●ご指摘の通り、
> ・A∨(B∨C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価
は書きそこ間違いで、
> ・A∨(B∧C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価
が正解です。訂正してお詫びします。

●等価を表す記号
> 例えば(A⇒B) ⇔ (￢(A∧￢B))などと書いてはいけないのでしょうか？
これやると混乱しちゃいますから、よしましょう。ひとつの考え方は、
「X⇔Y は (X∧Y) ∨ (￢X∧￢Y) と等価な演算子に過ぎない。『X⇔Y』が真か偽かはX⇔Y と書いただけではどちらとも言えない。一方『AがBと等価』というのは、『AからBが導出でき、しかもBからAが導出できる』ということを述べている。」
ということです。
「A,B,CからD,Eを導出できる」を表す記号として A,B,CトD,E （ホントはカタカナのトとちょっと違って、横棒が水平）を使うことがあります。この記号を使うと、たとえば三段論法は
A, A⇒BトB
ジレンマは
A⇒B, ￢A⇒BトB
のように表せます。論理演算としての⇒と、推論としてのトは区別しなくちゃいけない。これは操作される対象（"⇒"も対象のひとつ）と、対象を扱う体系を区別するということです。
　厳密なことを言えば、形式論理体系の公理系および推論規則によって、このへんには多少違いがあります。沢山の公理があって推論規則は三段論法しかない体系もあるし、逆に公理がちょっとで豊富な推論規則を持つ体系もある。だからどういう体系を使うのかきちんと決めておかないと混乱しやすい所ではあります。

●> 全体としてはA⇒Bの形をしてませんから、対偶というものは考えられません。
についての補足。
一階述語論理の論理式には大きく分けて２種類あります。
・閉じた論理式：出てくる変数が全て限量子（∀または∃）付きで現れているもの。
・開いた論理式：限量子（∀または∃）付きでない変数（自由変数）を含むもの。
開いた論理式というのは文脈に依存する。たとえば
∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)
というのは一つの開いた論理式で、fが自由変数です。開いた論理式は文脈の中で、「ある特定のfについて話をしている」のか「任意のfについて話をしているのか」が分かるという状態で使われる。ですから、たとえば∀f∀ε∃δ∀xという文脈において、
|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0
という開いた論理式を考えるのは差し支えない。そうすると、逆・裏・対偶を作ることが可能です。しかしご質問は
∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0)
についてですから、裏、逆、対偶はありません。

●さて、僭越ながらtaropooさんへのアドバイス：
(1) かくも突っ込んで質問なさるのなら、是非、記号論理学、あるいは数学基礎論の教科書を手に入れて勉強なさるのが宜しいかと思います。面白いですよ。
(2) masuo_kunさんはせっかく回答してくれたんですよ。下記URLをば、じっくりご参照下さい。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=78352

お礼

済みません，正しい表記法を知らなかったので２．の質問の式を
> ∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<ε)
と訂正させてください。これだと逆・裏・対偶を作る事が出来ないけど
> 任意f(x)∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<ε)
であれば逆・裏・対偶は作れると、そういう事ですね？

何故開いた論理式では逆・裏・対偶が定義できないのか未だに分かっていないのですが、
> 記号論理学、あるいは数学基礎論の教科書を手に入れて勉強なさるのが宜しいかと
諸事象によりそこまで一所に留まっている時間が無いんです。
突っ込んで聞いてしまうのは「分からない事は嫌い」という性分の性で、
自分でも良い所でもあり悪い所でもあるなーと感じております。

論理学の面白さはその一端を見せていただいて分かりましたので
時間が出来た時に興味で教科書等を買って勉強してみようと思います。

ありがとうございました。

p.s masao_kunさんには申し訳無い事をしたと思っております。

回答No.4

oodaiko

oodaikoです。私が余計なことをいろいろと書いてしまったので、あちこちに混乱をもたらしたようで
皆様にお詫び致します。

この質問に対する回答としてはstomachmanさんの回答で完璧だと思いますので
私の回答は補足程度に。

１.について。
一般的な記述ならstomachmanさんの回答で完璧。
具体的な例で見たいのなら最初のmasuo_kunさんの回答で十分。

命題Ａ ：ｘ＞０かつｙ＞０　
命題Ｂ：　ｘ＋ｙ＞０
とした時の
Ａ⇒Ｂ が masuo_kunさんの回答にある
「ｘ＞０かつｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０」
と言う命題です。この命題の否定は
「（ｘ＞０かつｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０）でない」
ですがこれでは見にくいですね。そこでstomachmanさんの回答にあるように
論理的に変形すると
「ｘ＞０かつｙ＞０かつｘ＋ｙ≦０」
となります

２.について。
stomachmanさんの回答にあるように、この命題については
逆、裏、対偶は意味がありません。（と言うより定義されない）
なぜなら逆、裏、対偶というのはあくまで
「（命題Ａが成り立つ）ならば（命題Ｂが成り立つ）」
という特殊な形をした命題について定義される概念だからです。
そこで２.の命題について考えられるのは「否定」だけでその内容については
stomachmanさんの回答の通りです。

お礼

補足に書いた件は気になる所ではありますが、
stomachmanさんのご回答No.5へのお礼にも書きました事情により
これ以上深入りは避けたいと思います。

勝手を言いまして申し訳ありません。

ご回答ありがとうございました。

補足

oodaiko先生に太鼓判を押していただけると大太鼓だけに不思議と裏づけされた気がします。（笑）
しかし、まだ
> この命題については 逆、裏、対偶は意味がありません。（と言うより定義されない）
> なぜなら逆、裏、対偶というのはあくまで
> 「（命題Ａが成り立つ）ならば（命題Ｂが成り立つ）」
> という特殊な形をした命題について定義される概念だからです。
と言う点が腑に落ちません。
実際stomachman先生が最後に出された例は、Ａ⇒Ｂという形をしていませんが、あれを対偶と定義する事に何の問題があるのでしょう？

回答No.3

noname#598

１．簡単な例でといわれたから簡単な例をあげたまでです。
否定については何も答えていないのではなく、裏のところで既に含まれる表現だから省略しただけです。
否定が一番気になるなら先にそれを書いてくださいよ。全然貴方もそれを書いていない。

２．については、私なりに考えて、一生懸命辞典を引きまくって得た回答です。
勿論完璧でないから自信はないです。
質問の内容を勝手に変えたことや、言葉に遊びが入っていることについて、
それが逆にtaropooさんの逆鱗に触れたのでしたら、伏してお詫び申し上げます。
でも、仮定にεがありながらそれっきりの、原文の命題もおかしいですよ。
完璧な質問をしてくださいよ。
人に完璧を求める貴方は一体何者でしょうか？

これだけ書けば規約違反も甚だしいと思うので、多分私は抹殺されます。
それ以前に疲れたので、撤収。もうここにはこないです。
お世話になった方々にはこの場を借りて御礼申し上げます。
ありがとうございました。さようなら。

お礼

私は分かっていないから質問をしました。
> 裏のところで既に含まれる
かどうかすらわかりません。「逆、裏、否定、対偶」についてお聞きしたら、どれが気になるとか関係なしに４つともお答え頂けるのを期待してはいけませんか？

> 仮定にεがありながらそれっきりの
今言われて気がつきました。あれは私のミスです。最後の0がεにすればいいんですよね？

ご回答に尽力いただきありがとうございました。

回答No.1

noname#598

対偶は（Ｂでない）⇒（Ａでない）
ということはご存知だと思いますが…

１．（taropooさんにとっては確認するまでも無いことかもしれませんが・・・）
原型　ｘ＞０かつｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０
逆　　ｘ＋ｙ＞０　ならば　ｘ＞０かつｙ＞０
裏　　ｘ≦０またはｙ≦０　ならば　ｘ＋ｙ≦０
対偶　ｘ＋ｙ≦０　ならば　ｘ≦０またはｙ≦０

少しずつ２．に近づけてみましょう
原型　全てのｘ＞０に対して、ｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０
逆　　全てのｘ＞０に対して、ｘ＋ｙ＞０　ならば　ｙ＞０
裏　　全てのｘ＞０に対して、ｙ≦０　ならば　ｘ＋ｙ≦０
対偶　全てのｘ＞０に対して、ｘ＋ｙ≦０　ならば　ｙ≦０

２．は懐かしい、ｘ＝０で連続であることの定義（定理？）ですね。１０年ぶりに見ました（笑）
どこに「ならば」があるか、忘れるんですよね、これ（笑）
正確には、辞典を見ますと、
『∀ε＞０，∃δ＞０，∀x (|x|<δ)，|f(x) -f(0)|<ε』とあるので、これでいきます。
記号を「和訳」すると、
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、ｘが|x|<δを満たすならば、常に|f(x) - f(0)|<εである」

逆は、
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、常に|f(x) -f(0)|<εならば、ｘは|x|<δを満たす」
裏は、
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、ｘが|x|≧δを満たすならば、常に|f(x) - f(0)|≧εである」
対偶は
「全てのε＞０に対して、適当にδ＞０をとり、常に|f(x) - f(0)|≧εであるならば、ｘが|x|≧δを満たす」

だったと思います。２．は全然自信なし…

補足

お聞きした事に関してお答え下さい。

１．でｘ＞０だのｙ＞０だのはどこから出てきたのですか？私は『Ａ⇒Ｂ』に関して質問をしたのですよ。
しかも一番気になっている「否定」に関して何も述べていらっしゃらない。

２．に関してもこちらは真剣に聞いています。自信の無い回答を見せられて私はどうすればいいのでしょう？

お聞きした事に関して、回答に自信のある方からのご回答をお待ちしております。