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∫(a-x^2)^(1/2)dx=1/2{x(a-x^2)^(1/2)+a*sin^(-1)(x/a)}
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.4
レベル6

ベストアンサー率 44% (4/9)

何箇所かのaはa^2の誤りでしょう。
有名な積分なので少し詳しい教科書か参考書に載っています。

まず (1-x^2)^(-1/2)の不定積分は sin^{-1}x(またはArcsin xとも書きます)
したがって 、置換積分によって(a^2-x^2)^(-1/2)の不定積分は
sin^{-1}(x/a) です。

次に(a^2-x^2)^(1/2)を1=(x)'と(a^2-x^2)^(1/2)の積だと思って
部分積分を行うと
x(a^2-x^2)^(1/2)-∫(-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)
となります。
第2項の積分を ∫(a^2-x^2)dx/(a^2-x^2)^(1/2)-a^2∫dx/(a^2-x^2)^(1/2)
と書き換えると,求めたい積分とArcsinになるので、移項して
2で割ればよいのです。だから最後のsin^{-1}の係数はa^2となる筈です。
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 65% (17/26)

等式の証明ということでしたら,右辺を微分するというのはいかがでしょうか.

# 私が計算してみたところ,同じになりそうになかったのですが...(-_-;)


  • 回答No.2

私も成り立たない気がするので、

a>0とし、√a=b とする。
∫(b^2-x^2)^(1/2)dx を計算することにします。

x=b*sint とすると、dx=b*costdt また、t=Arcsin(x/b) ⇒t=Arcsin(x/√a) ここが違うのでは???

左辺=b^2∫{1-(sint)^2}^(1/2)*costdt=a∫{(cos)^2}^(1/2)*costdt
cost>0のとき、{(cos)^2}^(1/2)=cost だから
  =a∫(cost)^2dt
  =a/2∫(1+cos2t)dt
  =a/2(t+(sin2t)/2)
  =a/2(Arcsin(x/√a)+sintcost)
  =1/2(a*Arcsin(x/√a)+asintcost)
ここで、 
  cost=(1-(sint)^2)^(1/2)=(1/√a)*(a-x^2)^(1/2)、sint=(x/√a)より、
  asintcost=x(a-x^2)^(1/2)
cost<0の場合も同様。

よって、求める不定積分は1/2{x(a-x^2)^(1/2)+a*Arcsin(x/√a)}
お礼コメント
ETK

お礼率 12% (1/8)

ありがとうございました.私も同じ答えになりました.やっぱり問題が間違っていたみたいですね.
投稿日時 - 2001-06-28 06:14:00
  • 回答No.3

毎度おなじみのポカです(笑)
最後は「~」+C (Cは積分定数)

がつきます。失礼しました m(。-_-。)m 
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