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返済のリスクと貸出選択

  • 困ってます
  • 質問No.9607976
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お礼率 93% (436/465)

期待返済額と期待効用の交点がなぜ直線上にくるか、わからないので質問します。
今貸出には、返済のリスクがある場合を考えます。確率qでRという返済が見込まれますが、確率1-qで何も返済されない(返済ゼロ)の可能性があるものとします。この場合貸出からの期待返済額をExとすると、Ex=qRです。この人の効用は、返済額をxとするとU(x)という効用関数として、添付した図のようにあらわされるとします。
すると、この人が貸出をしたら得られる期待効用は、Eu=qU(R)となります。
さてこの人が貸出を行わなければ、貸すことのできる資金Zは確実に手に入りますから、このときの期待効用は、U(Z)です。この人はお金をかすと期待効用Eu、貸さないと(期待)効用U(Z)を得ることになるので、
Eu>U(Z)なら貸出、Eu<U(Z)なら貸し出さない。という選択が行われます。図では資金Z1、Z2、Z3の場合を示しましたが、例えば資金Z1を貸さない時の(期待)効用は、Z1から真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点がU(Z1)となります。しかし、期待返済額Exを真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点が期待効用Euとなりません。期待返済額Exと期待効用Eu=qU(R)を結びつけると、図の線分OB上にあることと、図の線分OBをq:1-qに内分する点になることがわかりません。
どなたかこの2点を教えてくださいお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2

ベストアンサー率 64% (348/542)

経済学・経営学 カテゴリマスター
>しかし、期待返済額Exを真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点が期待効用Euとなりません。

これも質問の一部でしょうか?この個人がリスク中立的でないかぎり、つまり、効用関数が一次(効用曲線が直線)でないかぎり、期待返済額の効用と貸出しの期待効用は等しくなりません。もう少し、詳しく言うと
期待返済額の効用=U(Ex)=U(qR)
であり、一方、
貸出しの期待効用EuE=qU(R)=qU(R)+(1-q)U(0)=qU(R)
だからです。両者が等しくなるのは、効用関数U(・)が一次関数の場合(つまり、この個人がリスク中立的であるとき)だけです。この図のように、効用曲線が上方に凸である(Uが凹関数)であるとき、この個人はリスク回避的であるといい、その場合には図からわかるように、U(qR) > qU(R)となります。
補足コメント
situmonn9876

お礼率 93% (436/465)

よければお返事をください。期待返済額の効用U(qR)は、赤の効用関数上から読み取れるんですよね?
投稿日時 - 2019-04-18 20:38:09

その他の回答 (全6件)

  • 回答No.7

ベストアンサー率 64% (348/542)

経済学・経営学 カテゴリマスター
>U(x)が厳密な凹関数の定義は、数学の知識がいりそうですね。
私の回答No.6を再掲すると、

U(x)が厳密な凹関数とは、任意の相異なるx1とx2に対して
aU(x1) + (1-a)U(x2) < U[ax1 + (1-a)x2]
が成り立つときをいう。ただし、aは0<a<1を満たす任意の定数である。

となりますが、式で考えると難しそうに見えますが、グラフで考えると分かりやすいかもしれません。いま、x1とx2を固定してみましょう。すると、上の不等式の左辺は、点(x1,U(x1))ともう一つの点(x2,U(x2))を結んだ直線上の点を表している。aを0から1まで動かすなら、その線分全体を表している。右辺の[・ ]の中の値ax1+(1-a)x2は、横軸のx1からx2までの区間にある点を表し、aを0から1まで動かすなら、その区間全体[x1, x2]を表すことになる。したがって、U[ax1+(1-a)x2]は関数U(x)のグラフの、横軸のax1+(1-a)x2に対応する点を表している。よって、aを0から1まで動かすなら、横軸の区間[x1,x2]に対応する関数U(x)のグラフの部分を表している。よって、上の不等式は、区間[x1,x2]に対しては、グラフ部分が直線部分より上にくることを示し、どの相異なるx1,x2をとっても、このような関係になるなら、関数U(x)を凹関数というのです。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 93% (436/465)

詳しい解説ありがとうございます。
投稿日時 - 2019-04-28 18:19:50
  • 回答No.6

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経済学・経営学 カテゴリマスター
>図の効用関数はリスク回避的の関数のため、{U(qR) , qU(R)}が効用関数上にないという考えでよろしいでしょうか?

回答No.2をよく読んでください。点(Ex,Eu)=(qR,qU(R))が効用関数上になく、U(Ex)>Eu、同じことだがU(qR)>qU(R)となるのは、効用関数U(・)がリスク回避的効用関数であるから。リスク回避的な効用関数とは、効用関数が厳密な(強い意味での)凹関数のときをいう。U(x)が厳密な凹関数とは、任意の相異なるx1とx2に対して
aU(x1) + (1-a)U(x2) < U[ax1 + (1-a)x2]
が成り立つときをいう。ただし、aは0<a<1を満たす任意の定数である。

ここで、赤線で表された効用関数が上の条件を満たしていること、したがって、リスク回避的効用関数であることを確かめてください。例あげるなら、効用関数が
U(x)=√x
で表されるならば、どちらも厳密な凹関数、よってリスク回避的効用関数。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 93% (436/465)

{U(qR) , qU(R)}は効用と効用の組で、座標上の点にはなりませんね。U(x)が厳密な凹関数の定義は、数学の知識がいりそうですね。何度も間違いを訂正していただきありがとうございます。
投稿日時 - 2019-04-27 05:08:04
  • 回答No.5

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経済学・経営学 カテゴリマスター
質問には全部答えたつもりですが、まだ疑問は解消しませんか?
補足コメント
situmonn9876

お礼率 93% (436/465)

よろしければ、お返事ください。図の効用関数はリスク回避的の関数のため、{U(qR) , qU(R)}が効用関数上にないという考えでよろしいでしょうか?
投稿日時 - 2019-04-25 20:05:18
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 93% (436/465)

回答者様から、手をさしのべてくれてありがとうございます。
投稿日時 - 2019-04-25 20:06:54
  • 回答No.4

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経済学・経営学 カテゴリマスター
>期待返済額の効用U(qR)は、赤の効用関数上から読み取れるんですよね?

はいそうです。横軸上のExから上に垂直線を延ばし、効用関数のグラフ(赤い線)とぶつかる点(図には描かれていない)の縦軸の値を読み取れば、それが
U(qR)の値です。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 93% (436/465)

お返事ありがとうございます。
投稿日時 - 2019-04-19 20:31:52
  • 回答No.3

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経済学・経営学 カテゴリマスター
回答2の訂正です。回答2の
>貸出しの期待効用EuE=qU(R)=qU(R)+(1-q)U(0)=qU(R)
の部分は
貸出しの期待効用Eu=qU(R)+(1-q)U(0)=qU(R)
と直してください。
  • 回答No.1

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経済学・経営学 カテゴリマスター
Exを垂直に伸ばして直線(線分)OBとの交点をCとしてみると、三角形OExCが三角形ORBと相似であることはよいでしょうか?Eu、つまり線分ExCの長さ(高さ)がqU(R)に等しくなることを知りたいんでしょう。ところが、
OR:OEx= 1 : q、分数で書くと、OR/OEx=1/qとなることはいいですか?2つの三角形が相似であることを用いると、RB:ExC = 1: q 、分数で表すと、RB/ExC = 1/q、つまり、ExC=qRBとなる。Eu = qU(R)となることがわかった、ということです。
お礼コメント
situmonn9876

お礼率 93% (436/465)

内分点の公式を使わず、Eu = qU(R)となることがわかりました。ありがとうございます。
投稿日時 - 2019-04-18 20:12:22
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