返済のリスクと貸出選択に関する疑問

このQ&Aのポイント
  • 返済のリスクと貸出選択について質問します。
  • 貸出からの期待返済額と期待効用の関係が直線上にくる理由がわかりません。
  • 貸し出すかどうかの選択は期待返済額と期待効用の大小関係によって判断されますが、それが図のようになる理由が知りたいです。
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返済のリスクと貸出選択

期待返済額と期待効用の交点がなぜ直線上にくるか、わからないので質問します。 今貸出には、返済のリスクがある場合を考えます。確率qでRという返済が見込まれますが、確率1-qで何も返済されない(返済ゼロ)の可能性があるものとします。この場合貸出からの期待返済額をExとすると、Ex=qRです。この人の効用は、返済額をxとするとU(x)という効用関数として、添付した図のようにあらわされるとします。 すると、この人が貸出をしたら得られる期待効用は、Eu=qU(R)となります。 さてこの人が貸出を行わなければ、貸すことのできる資金Zは確実に手に入りますから、このときの期待効用は、U(Z)です。この人はお金をかすと期待効用Eu、貸さないと(期待)効用U(Z)を得ることになるので、 Eu>U(Z)なら貸出、Eu<U(Z)なら貸し出さない。という選択が行われます。図では資金Z1、Z2、Z3の場合を示しましたが、例えば資金Z1を貸さない時の(期待)効用は、Z1から真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点がU(Z1)となります。しかし、期待返済額Exを真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点が期待効用Euとなりません。期待返済額Exと期待効用Eu=qU(R)を結びつけると、図の線分OB上にあることと、図の線分OBをq:1-qに内分する点になることがわかりません。 どなたかこの2点を教えてくださいお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.2

>しかし、期待返済額Exを真上に上がり、効用関数とぶつかったところで左に向かい、効用の軸とぶつかった点が期待効用Euとなりません。 これも質問の一部でしょうか?この個人がリスク中立的でないかぎり、つまり、効用関数が一次(効用曲線が直線)でないかぎり、期待返済額の効用と貸出しの期待効用は等しくなりません。もう少し、詳しく言うと 期待返済額の効用=U(Ex)=U(qR) であり、一方、 貸出しの期待効用EuE=qU(R)=qU(R)+(1-q)U(0)=qU(R) だからです。両者が等しくなるのは、効用関数U(・)が一次関数の場合(つまり、この個人がリスク中立的であるとき)だけです。この図のように、効用曲線が上方に凸である(Uが凹関数)であるとき、この個人はリスク回避的であるといい、その場合には図からわかるように、U(qR) > qU(R)となります。

situmonn9876
質問者

補足

よければお返事をください。期待返済額の効用U(qR)は、赤の効用関数上から読み取れるんですよね?

その他の回答 (6)

回答No.7

>U(x)が厳密な凹関数の定義は、数学の知識がいりそうですね。 私の回答No.6を再掲すると、 U(x)が厳密な凹関数とは、任意の相異なるx1とx2に対して aU(x1) + (1-a)U(x2) < U[ax1 + (1-a)x2] が成り立つときをいう。ただし、aは0<a<1を満たす任意の定数である。 となりますが、式で考えると難しそうに見えますが、グラフで考えると分かりやすいかもしれません。いま、x1とx2を固定してみましょう。すると、上の不等式の左辺は、点(x1,U(x1))ともう一つの点(x2,U(x2))を結んだ直線上の点を表している。aを0から1まで動かすなら、その線分全体を表している。右辺の[・ ]の中の値ax1+(1-a)x2は、横軸のx1からx2までの区間にある点を表し、aを0から1まで動かすなら、その区間全体[x1, x2]を表すことになる。したがって、U[ax1+(1-a)x2]は関数U(x)のグラフの、横軸のax1+(1-a)x2に対応する点を表している。よって、aを0から1まで動かすなら、横軸の区間[x1,x2]に対応する関数U(x)のグラフの部分を表している。よって、上の不等式は、区間[x1,x2]に対しては、グラフ部分が直線部分より上にくることを示し、どの相異なるx1,x2をとっても、このような関係になるなら、関数U(x)を凹関数というのです。

situmonn9876
質問者

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.6

>図の効用関数はリスク回避的の関数のため、{U(qR) , qU(R)}が効用関数上にないという考えでよろしいでしょうか? 回答No.2をよく読んでください。点(Ex,Eu)=(qR,qU(R))が効用関数上になく、U(Ex)>Eu、同じことだがU(qR)>qU(R)となるのは、効用関数U(・)がリスク回避的効用関数であるから。リスク回避的な効用関数とは、効用関数が厳密な(強い意味での)凹関数のときをいう。U(x)が厳密な凹関数とは、任意の相異なるx1とx2に対して aU(x1) + (1-a)U(x2) < U[ax1 + (1-a)x2] が成り立つときをいう。ただし、aは0<a<1を満たす任意の定数である。 ここで、赤線で表された効用関数が上の条件を満たしていること、したがって、リスク回避的効用関数であることを確かめてください。例あげるなら、効用関数が U(x)=√x で表されるならば、どちらも厳密な凹関数、よってリスク回避的効用関数。

situmonn9876
質問者

お礼

{U(qR) , qU(R)}は効用と効用の組で、座標上の点にはなりませんね。U(x)が厳密な凹関数の定義は、数学の知識がいりそうですね。何度も間違いを訂正していただきありがとうございます。

回答No.5

質問には全部答えたつもりですが、まだ疑問は解消しませんか?

situmonn9876
質問者

お礼

回答者様から、手をさしのべてくれてありがとうございます。

situmonn9876
質問者

補足

よろしければ、お返事ください。図の効用関数はリスク回避的の関数のため、{U(qR) , qU(R)}が効用関数上にないという考えでよろしいでしょうか?

回答No.4

>期待返済額の効用U(qR)は、赤の効用関数上から読み取れるんですよね? はいそうです。横軸上のExから上に垂直線を延ばし、効用関数のグラフ(赤い線)とぶつかる点(図には描かれていない)の縦軸の値を読み取れば、それが U(qR)の値です。

situmonn9876
質問者

お礼

お返事ありがとうございます。

回答No.3

回答2の訂正です。回答2の >貸出しの期待効用EuE=qU(R)=qU(R)+(1-q)U(0)=qU(R) の部分は 貸出しの期待効用Eu=qU(R)+(1-q)U(0)=qU(R) と直してください。

回答No.1

Exを垂直に伸ばして直線(線分)OBとの交点をCとしてみると、三角形OExCが三角形ORBと相似であることはよいでしょうか?Eu、つまり線分ExCの長さ(高さ)がqU(R)に等しくなることを知りたいんでしょう。ところが、 OR:OEx= 1 : q、分数で書くと、OR/OEx=1/qとなることはいいですか?2つの三角形が相似であることを用いると、RB:ExC = 1: q 、分数で表すと、RB/ExC = 1/q、つまり、ExC=qRBとなる。Eu = qU(R)となることがわかった、ということです。

situmonn9876
質問者

お礼

内分点の公式を使わず、Eu = qU(R)となることがわかりました。ありがとうございます。

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