中学数学の図形の問題です

質問

教えてください
図のようにAB=6　AC=3　∠ACB＝90°の直角三角形ABCがあり、∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとする。また∠BCG=90°の直角三角形BCGがある。円Oは辺BC、CG、BGとそれぞれ点D、E、Fで接している。
(1)円の半径はいくつか
(2)FGの長さはいくつか
(3)△BFCの面積はいくつか
よろしくお願いします

回答No.5

bunjii

回答No.4に誤りがありましたので訂正します。
点Fから線ABへ垂線を引いてその長さを算出するには
　　　　　↓
点Fから線BCへ垂線を引いてその長さを算出するには

また、(2)のFGの長さは回答No.3の求め方で良いようです。
当方で∠DBFを求めて三角関数から線BG-線BFで求めた値が一致しました。

(3)の△BFCの値の求め方は省略します。

回答No.4

bunjii

>(1)円の半径はいくつか
正解が出ているようです。
∠BACが60°になることは理解てきていますか？
∠CADは∠BACの半分ですから30°です。
線DCが△BCGの内接円の半径と同じになりますので三角関数で求めます。
線OE=線DC=3×tan30°=√3

>(2)FGの長さはいくつか
設問では∠CBGが60°にならないので筆算では算出できません。
また、(3)の面積計算と無関係なので何のための設問なのでしょう？

>(3)△BFCの面積はいくつか
線FC上に内接円の中心（O）が重なりません。
設問に誤りはないですか？
(2)と同様に∠FBDの角度を逆三角関数で求めなければならないので筆算では算出できません。
当方での算出結果では約53°になりました。
∠FBD=atan(線FO÷線BF)×２≒53°
点Fから線ABへ垂線を引いてその長さを算出するには三角関数を使う必要があります。
今回の回答はここまでにします。

回答No.3

deshabari-haijo

(1)
直角三角形ABCにおいて、BC=3×√3=3√3、∠ABC=30°、∠BAC=60°
直角三角形DACにおいて、∠DAC=60°/2=30°
よって、直角三角形ABCと直角三角形DACは相似であるから、
CD=AC×AC/BC=3×3/3√3=√3（半径）

(2)
BD=BF=BC-CD=3√(3)-√3=2√3
直角三角形BCGの面積をSとすると、
2S
=CG×BC
=(CE+EG)×BC
=(FG+√3)×3√3
=3√(3)FG+9－(a)
また、
2S
=(△OBCの面積+△OBGの面積+△OCGの面積)×2
=(BC+BG+CG)×√3
=(BC+BF+FG+CE+EG)×√3
=(2FG+6√3) ×√3
=2√(3)FG+18－(b)
(a)=(b)であるから、
3√(3)FG+9=2√(3)FG+18
√(3)FG=9
FG=9/√3=3√3

(3)
△BFCにおいて、底辺をBFとしたときの高さhは、
直角三角形BCGの面積の2倍から、
BG×h=CG×BCの関係が成り立つので、
(BF+FG)×h=(CE+EG)×BC
{2√(3)+ 3√3}×h={√(3)+ 3√3}×3√3
5√(3)×h=36
h=36/5√3=12√(3)/5
よって、△BFCの面積は、
BF×h×1/2=2√(3)×12√(3)/5×1/2=36/5

回答No.2

nezusuke

△ABCにおいて三平方の定理を使ってBCの長さを求めます。
ADは∠BACの二等分線だから　AB:AC=BD:CD=6:3　となります。
BCの長さを6:3に分けたのがBDとCDの長さとなります。

ここで点Cに着目すると点から円に向かう２本の線は円の接線になるのでCOは∠DCEを二等分する。よって△CDOは底角45度の直角二等辺三角形となりDC=DOより円の半径を求めます。

同じく、点B,点Gから円に向かうそれぞれの線は円の接線になることと、△BCGが直角三角形であることから三平方の定理を使ってFGの長さを求めます。
同様CFの長さも求め、△BFCの面積を求めます。

回答No.1

muturajcp

(1)
|AB|=6
|AC|=3
∠ACB＝90°
だから
cos∠BAC=|AC|/|AB|=3/6=1/2
だから
∠BAC=π/3=60°
ADは∠BACの二等分線だから
∠BAD=∠CAD=π/3/2=π/6=30°
|CD|=|AC|tan∠CAD=3tan(π/6)=3tan(30°)=3/√3=√3
∴円の半径は
√3

(2)
|BC|=|AB|sin∠BAC=6sin(π/3)=6sin(60°)=6(√3)/2=3√3
|BF|=|BD|=|BC|-|CD|=3√3-√3=2√3
|DO|=|CD|=√3
tan∠DBO=|DO|/|BD|=(√3)/(2√3)=1/2

cos∠CBG
=cos(2∠DBO)
=2(cos∠DBO)^2-1
=[2/{1+(tan∠DBO)^2}]-1
=[2/{1+(1/2)^2}]-1
={2/(1+1/4)}-1
=8/5-1
=3/5

|BG|
=|BC|/cos∠CBG
=(3√3)/(3/5)
=5√3

|FG|=|BG|-|BF|
|FG|=5√3-2√3
∴
|FG|=3√3

(3)
sin∠CBF
=√{1-(cos∠CBG)^2}
=√{1-(3/5)^2}
=4/5

|△BFC|=(1/2)|BC||BF|sin∠CBF
|△BFC|=(1/2)(3√3)(2√3)(4/5)
∴△BFCの面積は
|△BFC|=36/5