(続)これってコーシーの積分公式の矛盾!?

質問

https://okwave.jp/qa/q9571473.html
の続きです。
文字数が多くなってしまいましたので下記のアップしましたのでご覧いただけましたら幸いでございます。
https://kyokoyoshikawa.web.fc2.com/newdir/question/q9571473.txt

回答No.16

jcpmutura · ベストアンサー

違います
fが抜けています

∫_Jdμ=0
でも
∫_Jfdμ≠0
となるfがあるという事です

お礼

私の結論は正しかったのですね。どうもありがとうございました。

回答No.15

jcpmutura

では
コーシーの積分公式の矛盾ではないと認めるのですね
それならこの問題は解決したことになります

補足

もちろん,認めますよ。複素リーマン積分の定義を前提として証明は正しいですからね。

それではμ測度は偽測度なんかではなく歴とした測度と認めて頂けるですね。
そして,
非負値測度では必ず∫_Jdμ=0となるのに,複素数値測度では喩えμ測度0でも∫_Jdμ≠0になりえる場合があるという私の結論は正しいのですね?

回答No.14

jcpmutura

すみません
間違えました
∫_{|z|=1}(1/z)dz=2πi=i∫_{|z|≦1}dμ
が成り立ちません
取り消します

μを
線分[a,b]の長さ
μ([a,b])=|a-b|
とすると
∫_{|z|=1}(1/z)dz=2πi=i∫_{|z|=1}dμ

左辺は|z|=1の線上の積分であるのに対して
右辺も|z|=1の線上の積分となります

補足

ご回答大変有難うございます。

非負値測度では必ず∫_Jdμ=0となるのに,複素数値測度では喩えμ測度0でも∫_Jdμ≠0になりえる場合があると考えます。

これならすべて無矛盾になりますよね。

μ測度が偽測度と仰るならその根拠を示していただけましたら幸いです。

因みに∫_Jfμ=0は複素測度の定義には含まれてません。

回答No.13

jcpmutura

タイトル
コーシーの積分公式の矛盾
と書いてあります
コーシーの積分公式は
複素積分の定義から直接導かれるものなのです。
そして公式や定理などではなく直接
複素積分の定義から
∫{|z|=1}(1/z)dz=2πi≠0
である事を示したはずです
それでも
μ(J)=0とジョルダン閉曲線のμ測度は0なのに,
∫_Jfμ≠0となってしまう(零集合のμ積分なのに≠0となってしまう)。
が矛盾だといっているのは
複素積分の矛盾だといっている事になります

dzは差分(微分)であって測度ではないので
∫{|z|=1}dz=0
∫{|z|=1}(1/z)dz=2πi≠0
に矛盾はありません

そのμ測度なるものは
複素積分のdzをμ測度dμに言い換えて
複素積分の定義をそのままμ測度の定義にしただけの事であって
dzをdμに言い換える何のメリットもありません
むしろdzをdμに言い換えることによって
μ(J)=0→∫_Jfμ=0
が実際には成り立たないのに
成り立つものだという誤解させるデメリットの方が大きいのです
それから
複素ルベーグ測度として
複素数a,bの間の長方形の面積
μ[a,b]=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)|
という測度が別にあるので、それと混同するデメリットの方が大きいのです

複素積分をルベーグ積分で表す事は困難ですが、

∫_{|z|=1}(1/z)dz=2πi=i∫_{|z|≦1}dμ

が成り立ちます
左辺は|z|=1の線上の積分であるのに対して
右辺は|z|≦1の面上の積分となります

実数積分でも

a≦b,f(x)≧0の時
∫_{a→b}f(x)dx=∫_{(x,y)|a≦x≦b,0≦y≦f(x)}dμ

左辺は[a,b]の線上の積分であるのに対して
右辺は{(x,y)|a≦x≦b,0≦y≦f(x)}の面上の積分となります

補足

ご回答大変有難うございます。

> タイトル
> コーシーの積分公式の矛盾
> と書いてあります

失礼しました。タイトルを測度0のμ積分∫_Jdμ≠0の矛盾と訂正させてください。

コーシーの(複素リーマン)積分の公式は複素リーマン積分の定義を使って証明されます。

> μ(J)=0とジョルダン閉曲線のμ測度は0なのに,
> ∫_Jfμ≠0となってしまう(零集合のμ積分なのに≠0となってしまう)。
> が矛盾だといっているのは
> 複素積分の矛盾だといっている事になります

矛盾ではないと思います。

非負値測度では必ず∫_Jdμ=0となるのに,複素数値測度では喩えμ測度0でも∫_Jdμ≠0になりえる場合があると考えます。

No.6の補足コメントで確かにμは前測度μ_0から複素測度の定義を満たすことは確認しました。

ジョルダン曲線J:(a,b]→Cに関して,μ測度はμ(J|_{(x,y]}):=J(y)-J(x)∈Cとなり,

そして,a≦x≦y≦bにおいて,f_Re^±(z):=max{±f_Re(z),0},f_Im^±(z):=max{±f_Im(z),0}と置き,
α:=inf f_Re^±((x,y])と置くと
αI_{J|_{(x,y]}}は \nearrow f_Re^±なるσ[\mathfrak{J}]可測単関数になる事は容易に分かります
(但し,Iはindicator関数)。
そして,

∫_Jfμ:=∫_Jf_Re^+μ-∫_Jf_Re^-μ+i(∫_Jf_Im^+μ-∫_Jf_Im^-μ)と書けます。

,,,なのでやはり複素数値測度では∫_Jdμ=0とは必ずしも成り立たないと考えます。

いかがでしょうか?

回答No.12

jcpmutura

μ(J)=0とジョルダン閉曲線のμ測度は0なのに,
∫_Jfμ≠0となってしまう(零集合のμ積分なのに≠0となってしまう)。
これこそが
μが測度でない偽測度である事の証です。
偽測度の矛盾であって、
複素積分の矛盾ではありません
μが偽測度でないというのなら
μが測度で
μ(J)=0ならば
∫_Jfμ=0となる事を証明して下さい

補足

> 偽測度の矛盾であって、
> 複素積分の矛盾ではありません

私は複素リーマン積分が矛盾であるとは一度も述べておりません。

μ(J)=0なのに∫_Jfμ=0と合致しないと申しております。

μが測度であることは既に示しました。
だから
複素値を取る測度には∫_Jfμ=0は必ずしもいえないのです。
μ(J)=0⇒∫_Jfμ=0
は実数値を取る測度について言える事なのです。

その証拠にどの書籍を見ても∫_Jfμ=0は実数値を取る測度についてでしか述べられてません。
複素数値を取る測度についても∫_Jfμ=0となると述べられた書籍等は見かけた事がありません。

いかがでしょうか?

回答No.11

jcpmutura

dz
は測度ではなく差分(複素数の差)の極限微分といいます
閉曲線の場合は当然差分の合計は0になりますが,
差分の向きは
|z|=1の単位円の場合
接線反時計回り方向になりますが
逆向き(時計回り)の
被積分関数
(1/z)
を乗ずる事によって向きが変わり一定方向になるので
その和は
0にはなりません

複素積分の定義により
∫_{|z|=1}(1/z)dz
を計算します

∫_{|z|=1}(1/z)dz
=lim_{n→∞}Σ_{k=0～n-1}(e^{-2πik/n})[e^{2πi(k+1)/n}-e^{2πik/n}]
=lim_{n→∞}n[e^{2πi/n}-1]
=2πi+lim_{n→∞}(1/n)Σ_{k=0～∞}(2πi)^(k+2)/n^k/(k+2)!
=2πi
≠0
となって矛盾はありません

補足

> dz
> は測度ではなく差分(複素数の差)

私が定義したμ測度と同じ定義ですね(勿論,複素測度の定義を満たす事も既に確認しました)。

> |z|=1の単位円の場合
> 接線反時計回り方向になりますが
> 逆向き(時計回り)の
> 被積分関数
> (1/z)
> を乗ずる事によっ
:
> =2πi
> ≠0
> となって矛盾はありません

これは参考書等に載ってるコーシーの(複素リーマン)積分公式の証明をみれば直ちに納得できる事ですし

私のμ測度の計算も≠0になってます。差分をそのままμ測度と読み替えて計算してるので当たり前の事ですが。

何度も何度もも申し上げてますがμ(J)=0とジョルダン閉曲線のμ測度は0なのに,
∫_Jfμ≠0となってしまう(零集合のμ積分なのに≠0となってしまう)。
が矛盾だと申し上げてます。

これについては,測度=0の可測集合Nについて∫_Jfμ=0となるのは実数値測度の場合だと推測します。
何故ならば複素数には大小関係がありませんので複素測度では可算劣加法性が必ずしも成り立たないからだと考えます。

いかがでしょうか?

回答No.10

jcpmutura

実際に定義に沿って
∫_{|z|=1}(1/z)dz
を計算します
{z;|z|=1}を4分割します

{z;|z|=1}=[1,i]∪[i,-1]∪[-1,-i]∪[-i,1]

(1/1)μ[1,i]
+(1/i)μ[i,-1]
+(1/-1)μ[-1,-i]
+(1/-i)μ[-i,1]
=
(1/1)(i-1)
+(1/i)(-1-i)
+(1/-1)(-i+1)
+(1/-i)(1+i)
=
i-1
+i-1
+i-1
+i-1
+i-1
=5i-1≠0

0になりませんので矛盾ではありません

分割数を増やしても0になりません

補足

ご回答誠に有難うございます。

> 実際に定義に沿って
> ∫_{|z|=1}(1/z)dz
> を計算します
> {z;|z|=1}を4分割します
> {z;|z|=1}=[1,i]∪[i,-1]∪[-1,-i]∪[-i,1]

これは私のμ測度そのものですね。

> (1/1)μ[1,i]
> +(1/i)μ[i,-1]
:

> 分割数を増やしても0になりません

No7ではジョルダン閉曲線Jのμ測度は0になると仰ってますよね。
ではμ(J)=0なのに∫_Jfμ≠0となってしまうのはどうご説明なさるのでしょうか?

回答No.9

jcpmutura

∫_{|z|=1}(1/z)dz
↓
z=e^{it}
とすると
1/z=e^{-it}
dz=ie^{it}dt
0≦t≦2π
だから
↓
=∫_{0～2π}(e^{-it})(ie^{it})dt
=i∫_{0～2π}dt
=i[t]_{0～2π}
=2πi
だから
矛盾ではありません

補足

> ∫_{|z|=1}(1/z)dz
> ↓
:
> だから
> 矛盾ではありません

これは単に(複素リーマン積分の)コーシーの積分定理とコーシーの積分公式を書かれて上手くいってるねと仰ってるだけじゃありませんか。
私はそんな事は尋ねてませんよ。

私は複素リーマン積分の沿って,μ積分を定義しましたらそれもチャンとコーシーの積分定理とコーシーの積分公式が成り立つが
∫_A dμでAがμ測度0なのに,∫_A dμ≠0となるのは矛盾ですよね,何ででしょうね。
と質問しました。

回答No.8

jcpmutura

閉曲線
J={(t,e^{it})|0≦t≦2π}
の
測度は
μ(J)=0
となるのに

∫_{|z|=1}(1/z)dz=2πi

となるという
質問者様の当初の疑問はどうなるのでしょうか?

補足

それが矛盾だと問うておるのです。

それをお尋ねしました回答者様から

https://okwave.jp/qa/q9571473.html

1/zは非可測関数とのご指摘を賜りましたがどうして非可測関数だとわかるのでしょうか?

回答No.7

jcpmutura

それでは
閉曲線
J={(t,e^{it})|0≦t≦2π}
の
測度は
μ(J)=0
となってしまうのでは？

補足

だからコーシーの積分定理が=0となって一応うまくいってます。

回答No.6

jcpmutura

いいえ測度の定義域はCの部分集合族でなければなりません
それはもはや測度ではありません

複素積分の定義は別にあり
複素積分で
dz
と定義されているものを
わざわざ不確かな(無矛盾が証明されていない)
偽測度
dμ
に置き換えて再定義する必要はありません
それで矛盾がおきればそれはコーシー積分公式の矛盾ではなく
偽測度に矛盾があるのです

補足

ご回答誠に有難うございます。

> いいえ測度の定義域はCの部分集合族でなければなりません

出鱈目を言わないでください。どこの本にそんな事書いてあるんですか?

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%AC%E5%BA%A6%E8%AB%96

測度の定義域は集合Xの完全加法族を定義域すると思うんですけど。。

恐らく,ルベーグ測度に固執されてのだと推測します。

前補足コメントでルベーグ測度ではなくμ測度だと既に言及しました。

>偽測度

偽ではありません。ちゃんと測度に拡張できる事が証明できますよ。

[補題ア] Jをdom(J)=(a,b] (a<b,a,b∈R)をジョルダン曲線とせよ。\mathfrak{J}:=∪_{c,d∈R,a≦c≦d≦b}{J;J':(c,d]→C, J'=J|_{(c,d]}}⊂2^Jとする。
この時,\mathfrak{J}は半加法族をなす。
(証明)
(i) φ∈\mathfrak{J}は明らか,c=dの時。
(ii) J',J''∈ \mathfrak{J} ⇒ J'∩J''∈\mathfrak{J}
もJ'∩J''=φなら(i),J'∩J''≠φなら, 明らかに∃a≦ ∃inf dom(J'∩J'') ≦ ∃inf dom(J'∩J'') ≦ b なので
J'∩J''∈∈\mathfrak{J}が言える。
(iii) J'∈∈\mathfrak{J} ⇒ ∃k∈N;{J_m}_{m=1}^k⊂\mathfrak{J} 且つ J＼J'=∪'_{m=1}^k J_mについては (ここで∪'は素集合の和集合を表す記号),
J＼J'=J|_{(a, inf dom(J')}∪'J|_{sup dom(J')}と書き表せるのでk=2と採れる。 (終)

[命題イ] 補題アにて,μ_0:\mathfrak{J}→Cを\mathfrak{J}∋∀J'→μ_0(J'):=J'(d)-lim_{t→c+0}J'(t)と定義すると,μ_0は有限加法性と|μ_0(∪'_{m=1}^∞J_m)|≦∑_{m=1}^∞{μ_0(J_m)| (但し,J_m∈\mathfrak{J})が成り立つ。
(証明)
(i) 有限加法性については
a,b∈R,a<bに対して(a,b],∃a_1,…a_k,b_1,…,b_k∈R;a=a_1<b_1=a_2<b_1=…<b_{k-1}=a_k<b_k=b 且つ (a,b]=∪'_{m=1}^k(a_m,b_m],
そしてJ_m∈\mathfrak{J}をdom(J_m)=(a_m,b_m]とします。この時,
J:=∪'_{m=1}^k J_mに対して,
μ_0(∪'_{m=1}^k J_m)
=μ_0(J)=J(b)-lim_{t→inf(dom(J)+0}J(t)
=(J(b)-lim_{t→inf(dom(J_1)+0}J(t))+(J(b_2)-lim_{t→inf(dom(J_2)+0}J(t))+…++(J(b_k)-lim_{t→inf(dom(J_k)+0}J(t))
(∵キャンセルアウトされてJ(b)-lim_{t→inf(dom(J)+0}J(t)のみが残る)
=∑_{m=1}^k μ_0(J_m) (∵μ_0の定義)。
(ii)について,
a,b∈R,a<bに対して(a,b],∃a_1,…,b_1,…,∈R;a<…=a_2<b_2=a_1<b_1=b 且つ (a,b]=∪'_{m=1}^∞(a_m,b_m] (注:(a,b]の上極限は終点bも含むのでこの形を仮定した)とすると,
|μ_0(∪'_{m=1}^∞ J_m)|
=|lim_{k→∞}μ_0(∪'_{m=1}^k J_m)|
=|lim_{k→∞}∑_{m=1}^k μ_0(J_m)| (∵(i))
=|∑_{m=1}^∞ μ_0(J_m)|
≦∑_{m=1}^∞ |μ_0(J_m)|。

これは1次元リーマン外測度のジョルダン曲線版とでも言いましょうか (既に呼び名がついてればお教えください)?

従って,

[拡張定理] 命題イにて, \mathfrak{J}が半加法族なら(\mathfrak{J},μ_0)が測度に拡張される必要十分条件は
(i) (\mathfrak{J},μ_0)は非負有限加法的,
(ii) |μ_0(∪'_{m=1}^∞J_m)|≦∑_{m=1}^∞{μ_0(J_m)}|。

を使ってμ_0を測度に拡張できると事がわかると思います。

このμ測度を使えば,複素リーマン複素積分は前記事でご紹介頂いた`向き付け関数`なるものを持ち出さずに意外にシンプルに表せる思います。

いかがでしょうか?

尚, 間違い・勘違いがありましたらご指摘頂けましたら大変幸いです。

> dμ
> に置き換えて再定義する必要はありません

それで複素リーマン積分とμ積分との関係性の見通しがよくなる事は意義があることだと思うのですが。。

> それで矛盾がおきればそれはコーシー積分公式の矛盾ではなく
> 偽測度に矛盾があるのです

その理由も簡単で当初の私の質問では私はルベーグ測度で考えた事が原因だと思います。

1次元複素ルベーグ測度は2次元実ルベーグ測度と同一視できますよね。

私は複素リーマン積分に1次元複素ルベーグ測度を採用したのでジョルダン曲線Jは零集合は明らかなので

https://okwave.jp/qa/q9571473.html
での私が述べた積分で1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz≡0となるのは明らかで愚問でした。

実際には,複素リーマン積分には上述のμ積分の測度μを採用すべきでしたこれならコーシーの積分公式と辻褄が合うのでした。。。

いかがでしょうか?