ベクトルの内積

質問

この問題が分かりません。どなたか説明してください！
解答の青いところが分かりませんでした。

回答No.5

jcpmutura

D=B^2-4ACをtの2次方程式At^2+Bt+C=0の判別式という
A=|b|^2>0
B=2(a,b)
C=0
の時
tの2次不等式
At^2+Bt+C=|b|^2t^2+2(a,b)t≧0
がすべての実数tに対して成り立つとすると
At^2+Bt+C≧0
↓A>0だから両辺にAをかけると
AAt^2+ABt+AC≧0
{At+(B/2)}^2-B^2/4+AC≧0
{At+(B/2)}^2-(B^2-4AC)/4≧0
↓両辺に(B^2-4AC)/4を加えると
{At+(B/2)}^2≧(B^2-4AC)/4=D/4
↓これがすべての実数tに対して成り立つから
↓t=-B/(2A)に対して成り立つから
↓これにt=B/(2A)を代入すると
{A(-B)/(2A)+(B/2)}^2≧(B^2-4AC)/4=D/4
{-B/2+(B/2)}^2≧(B^2-4AC)/4=D/4
{(-B+B)/2)}^2≧(B^2-4AC)/4=D/4
(0/2)^2≧(B^2-4AC)/4=D/4
0≧(B^2-4AC)/4=D/4

逆に
0≧(B^2-4AC)/4=D/4
ならば
{At+(B/2)}^2≧0≧(B^2-4AC)/4=D/4
だから
{At+(B/2)}^2≧(B^2-4AC)/4
↓両辺に(4AC-B^2)/4を加えると
A^2t^2+ABt+AC≧0
↓両辺をAで割ると
At^2+Bt+C≧0
がすべての実数tに対して成り立つから

tの2次不等式
At^2+Bt+C≧0
がすべての実数tに対して成り立つ条件は
D/4=(B^2-4AC)/4≦0
↓B=2(a,b),C=0だから
(4(a,b)^2-4A*0)/4≦0
(4(a,b)^2)/4≦0
(a,b)^2≦0

回答No.4

f272

私なら，そこに書いてあるような計算をせずに添付画像のように考えて，aとbが直交する(a・b=0)と答えます。

回答No.3

178-tall

(1) から
　P^2 - |a|^2 = |b|^2*t^2 + 2(a・b)*t
を導いたあと、右辺にて t^2 の係数 = |b|^2 が零の場合 ((2)) と、非零 (非零かつ非負) の場合 ((3)) に分けて判断してますネ。

(2)の場合；
　|b|^2 = 0 → P^2 - |a|^2 = 2(a・b)*t
なので、「すべての実数に対し」右辺が非負になるのは (a・b) = 0 のケースのみ。
　→ P^2 - |a|^2＞0*t^2 = 0

(3)の場合；
　|b|^2＞0
　→ P^2 - |a|^2＞|b|^2*t^2 + 2(a・b)*t = |b|^2*t*{ t+ 2(a・b) }
らしい。
(a・b) が非零だと、右辺は t = 0 と t = -2(a・b) の相異なる二つの零点をもち、否応なく正負に分かれる。
「すべての実数に対し」右辺が非負であるのは (a・b) = 0 のケースのみ。
　→ P^2 - |a|^2＞|b|^2*t^2

回答No.2

kiha181-tubasa

最後は２次関数や絶対２次不等式の問題に帰着するのですね。手書きの回答を画像にして貼付します。

回答No.1

asuncion

ベクトルの矢印は省略します。
|b|^2やa・bは単なる数ですので、
mt^2 + 2nt = 0
というtの2次方程式がt軸との交点を1点だけ持つ（※1）かあるいは全く持たない（※2）かということです。
※1は判別式 = 0です。※2は判別式 < 0です。よって判別式 ≦ 0となるような
m, n(実際はnだけです)の範囲を求めればよいです。