数学

質問

この積分の問題教えていていただきたいですm(_ _)m 答えは赤字になります

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

xyz空間内に3点P(t,0,0),Q(t,sint,0),
R(t,0,1+cost)をとる.
(1)
0<t≦π/2のとき,
PQ=(0,sint,0)
PR=(0,0,1+cost)
(PQ,PR)=0だから
PQ⊥PR
|PQ|=sint
|PR|=1+cost
だから
△PQRの面積
=(1/2)|PQ||PR|
=(1/2)(1+cost)sint

(2)tが0≦t≦π/2の範囲を動くとき,
△PQRの周および内部が通過してできる立体をKとする.
(i)
Kの体積は
∫_{0～π/2}(1/2)(1+cost)(sint)dt
=(1/2)∫_{0～π/2}{sint+(1/2)sin(2t)}dt
=(1/2)[-cost-(1/4)cos(2t)]_{0～π/2}
=(1/2)[1+(1/2)]
=3/4

(ii)
0≦t≦π/2
↓各辺からπ/4を引くと
-π/4≦t-π/4≦π/4
↓sin(t-π/4)は-π/4≦t-π/4≦π/4で増加だから
sin(t-π/4)≦sin(π/4)
↓sin(π/4)=1/√2だから
sin(t-π/4)≦1/√2
sin(t)cos(π/4)-cos(t)sin(π/4)≦1/√2
↓cos(π/4)=sin(π/4)=1/√2だから
sin(t)(1/√2)-cos(t)(1/√2)≦1/√2
↓両辺に√2をかけると
sin(t)-cos(t)≦1
↓両辺にcos(t)を加えると
sin(t)≦1+cos(t)
↓0≦t≦π/2だから
0≦sin(t)≦1+cos(t)
だから
Kをx軸のまわりに1回転してできる
Kの断面は半径{1+cos(t)}の円だから
Kの体積は
π∫_{0～π/2}{(1+cost)^2}dt
=π∫_{0～π/2}{1+2cost+(cost)^2}dt
=π∫_{0～π/2}{1+2cost+{1+cos(2t)}/2}dt
=π∫_{0～π/2}{3/2+2cost+{cos(2t)}/2}dt
=π[(3t/2)+2sint+{sin(2t)}/4]_{0～π/2}
=π[(3π/4)+2]
=(3/4)π^2+2π