微分方程式

質問

微分方程式　dx/dt=2x・・・(1) x(0)=5・・・(2)　に関してわからないことがあるので質問します。
(1)よりx=x(t)で　tが0のときxは5、ここで 1/(dx/dt)=1/(2x)=dt/dx ・・・(3)
よりt=t(x)となり、上記のxとtの関係から、0=t(5)と置け、(3)の中央と右の辺をxで定積分して、∫(5→x)1/(2x)dx=∫(5→x)(dt/dx)dx より　1/2(logx-log5)=∫(5→x)dt ∴
1/2log(x/5)=t(x)-t(5) ここからがわからないところですが、1/2log(x/5)+0=t(x)=t
と解説にはのっており、この左辺の0は、自分の計算どうり、∫(5→x)dt　の下端からできたものなのかはっきりしません。間違っていたら訂正おねがいします。
続けて、log(x/5)=2t よって x=5e^2t

二つ目のわからないところは、微分方程式の解はtが1増えるごとに、xは何倍になるかを問われたのですが
自分の計算では、{{5e^2(t+1)}-5e^2t}/(t+1-t)で5e^2t(e^2-1)倍でしたが、答えはe^2倍でした。
どなたか自分の考えを訂正してください。おねがいします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(1/2)log(x/5)=t(x)-t(5)
↓0=t(5)だから
(1/2)log(x/5)=t(x)=t
だから
左辺の0は0=t(5)の0

x(t+1)=5e^{2(t+1)}
は
x(t)=5e^{2t}
の何倍かというのだから

x(t+1)/x(t)
=[5e^{2(t+1)}]/[5e^{2t}]
=e^{2t}(e^2)/e^{2t}
=e^2
∴
x(t+1)=x(t)(e^2)

x(t+1)はx(t)の(e^2)倍

お礼

x(t+1)=x(t)(e^2)で納得できました。ありがとうございます。

回答No.3

178-tall

>1/(dx/dt)=1/(2x)=dt/dx ・・・(3)
からスタートしてみよう。

第 2, 3 項、
　(1/2)/x = dt/dx
　　　↓ x で積分 (任意定数を C として)
　t = (1/2)LN(x) + C　　　…(A)
　　　↓ t が 0 のとき x は 5
　0 = (1/2)LN(5) + C
　C = -(1/2)LN(5)
これを (A) へ代入し、
　t = (1/2)LN(x) - (1/2)LN(5)
　　= (1/2)LN(x/5)　　…(B)
… という勘定。
つまり「境界条件」
　x(0) = 5　　…(2)
から任意定数 C を確定する。

>微分方程式の解はtが1増えるごとに、xは何倍になるか…

上記 (B) から勘定してみる。
　t + 1 = (1/2)LN(x) + 1 = (1/2){ LN(x) + 2 }
　　　　= (1/2)LN(x*e^2)　　…(C)
つまり、「答えは e^2 倍」。

お礼

t=0のときx=5を代入してCを求めたり、一旦Cを使って積分をあらわしたり、勉強になりました。お返事ありがとうございます。

回答No.2

info33

(1つ目)
dx/dt=2x・・・(1), x(0)=5・・・(2)

(1)より
dx/x=2dt
loge(x)+2t+C
(2)より
loge(5)=C
loge(x)=2t+loge(5)
loge(x/5)=2t
x/5=e^(2t)
x= 5e^(2t) ... (4) .... (Ans.)

(2つ目)
t=t1(任意) の時 (4)より x=x1=5e^(2t1) ... (5)
t=t1+1の時 (4)より x=x2=5e^(2t1+2) ... (6)
(5), (6)より
x2/x1=e^2
(Ans.) e^2 倍

お礼

dx/dt=2xをdx/x=2dtとするのは新しかったです。何倍になるかを求めるときは、比の考えをつかうんですね。お返事ありがとうございます。