この熱伝導方程式を教えて下さい

質問

棒があって、両端0というよくあるやつです。
よく見るのは棒の長さl、端を原点としてu(0,t)=u(l,t)=0の条件でフーリエ級数を使って解くやつです。
ただ、ここでは棒の長さが2lで原点が真ん中として少しひねってあるんです。
困っています。お願いいたします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

∂u/∂t=(k^2)∂^2u/∂x^2
u(-L,t)=u(L,t)=0
u(x,0)=f(x)

u(x,t)=F(x)G(t)
と置く
F(x)G'(t)=∂u/∂t=(k^2)∂^2u/∂x^2=(k^2)F"(x)G(t)
G'(t)/{(k^2)G(t)}=F"(x)/F(x)=cと置く
c<0の時,c=-a^2(a>0)とすると
F"(x)/F(x)=-a^2
F"(x)=-(a^2)F(x)
F"(x)+(a^2)F(x)=0
の解は
F(x)=Acos(ax)+Bsin(ax)

G'(t)/{(k^2)G(t)}=-a^2
G'(t)/G(t)=-(ak)^2
の解は
G(t)=Ce^{-t(ak)^2}

CAをA,CBをBに置き換えると

u(x,t)={Acos(ax)+Bsin(ax)}e^{-t(ak)^2}
u(-L,t)={Acos(aL)-Bsin(aL)}e^{-t(ak)^2}=0
Acos(aL)-Bsin(aL)=0…(4)
u(L,t)={Acos(aL)+Bsin(aL)}e^{-t(ak)^2}=0
Acos(aL)+Bsin(aL)=0…(5)
(4)+(5)から
Acos(aL)=0
(nは任意整数とすると)
A=0又はaL={n+(1/2)}π
だから
A=0又はa={n+(1/2)}π/L

(5)-(4)から
Bsin(aL)=0
(nは任意整数とすると)
B=0又はaL=nπ
だから
B=0又はa=nπ/L

B=0の時A=0の時u(x,t)=0となるから
a={n+(1/2)}π/Lだから

u(x,t)=Acos[{n+(1/2)}πx/L]e^[-tk^2[{n+(1/2)}^2]π^2/L^2]

a=nπ/Lの時n≠n+(1/2)だからA=0だから

u(x,t)=Bsin(nπx/L)e^{-t(k^2)n^2(π^2)/L^2}

∴
u(x,t)=Acos[{n+(1/2)}πx/L]e^(-tk^2[{n+(1/2)}^2]π^2/L^2)+Bsin(nπx/L)e^{-t(k^2)n^2(π^2)/L^2}

お礼

助かります