ボールエンドミルのたわみ量算出に関して

質問

切削加工時のボールエンドミルの先端たわみ量を求めたいのですが、うまく解けません。ご協力をお願いします。

基本的な考え方として、切削加工時の状態を、工具を片持ち梁の先端に集中荷重が掛かっている状態とモデリングして、先端のたわみ量を求めたいと考えています。
工具がフラットエンドミルでしたら、円筒形状ですので、先端でのたわみ量は、
z=(FL^3)/3EI　
で求める事が出来るのですが、先端が球状のボールエンドミルの場合、途中で断面2次モーメントが変化して（しかも、ルート項がつくので）弾性曲面の式をうまく2回積分できず、解けません。

何か妙案でもございましたら、ご回答をよろしくお願いします。

工具基本情報：
　L：工具長さ
　R：ボール半径
　E：工具ヤング率
　I：断面2次モーメント
　F：荷重

　　　　　　Ｆ
　　　　　　↓
□□□□□□Ｄ
← L 　→

回答No.2

noname#230359 · ベストアンサー

CEのユーザーさんが仰るように、小生もフラットで近似すればよいとは思いますが、ここはあえて貴殿の御要求に沿うように検討してみました。

　　　　　　Ｆ
　　　　　　↓
□□□□□□Ｄ
← L 　→|
x←|(先端を原点とする)　工具径：d

とした場合、断面円の直径をD、断面2次モーメントをIとすれば、

(a)0≦x≦d/2の時、D=2√{x(d-x)} , I=πD^4/64
(b)d/2≦x≦Lの時、D=d , I=πd^4/64

また、モーメントM = -Fxです。(下に凸を正)

ここで、ひずみエネルギーUを計算すると、(a)(b)で積分範囲を分けて、

U=∫{M^2/(2EI)}dx = {2・F^2/(πEd)}×{16(L/d)^3 - 1} ・・・(1)

ここで、材料力学のカスティリアノの定理より、先端でのたわみδは、

δ=∂U/∂F = {4・F/(πEd)}×{16(L/d)^3 - 1} ・・・(2)

(2)から求めるたわみが算出でき、更に、円筒断面のたわみよりも小さくなることがわかります。(円筒断面：δ=64・FL^3/(πEd^4))

以上、御参考まで。

確かに、再計算してみたところ、貴殿の通りとなりました。
急いで計算した結果です。お恥ずかしながら。

恐らく、小生のアイデアで検討できると考えますので、是非検証願いたいと思います。

お礼

ご意見、誠に有難う御座います。

miwaさんの計算過程をこちらでも検算したのですが、計算結果がずれていたので、ご報告をします。
私の計算結果ですと、ひずみエネルギーUは、
U = {(2･F^2)/(3Eπd)}×{16(L/d)^3 + 1}

となり、たわみ量δは、
δ = {(4F)/(3Eπd)}×{16(L/d)^3 + 1}

という結果を得ました。

何にせよ、計算過程の道筋を示して頂き、誠に有難う御座います。

回答No.1

noname#230359

フラットエンドミルで近似していいんではないですか？
そもそもボールエンドでは負荷（切削抗力自体正確にだせないでしょう！

お礼

ご意見、誠に有難う御座います。

確かに、ボールエンドミルの切削力は完全に再現できませんが、近似的な切削力は算出致しました。
察しの通り、現状ではフラットで近似していますが、もう少し精度の良い結果を得たいので、今回質問を行った次第です。