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実数の三角不等式の証明について

三角不等式の証明の鉄板として、二次関数の判別式を使うものがありますが、これは実数の三角不等式の証明の場合循環するでしょうか？ 二次関数の実数解の個数と、下に凸の二次関数が常にゼロ以上というのが、判別式により繋がるわけですが、ここに三角不等式を使用するような概念は含まれないんでしょうか？

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https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%81%AE%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F#%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%81%AB%E9%96%A2%E3%81%99%E3%82%8B%E8%A9%B1%E9%A1%8C 　　　　　　↑ 　　コーシー＝シュワルツの不等式 　　　証明に関する話題 …など、ご覧ください。 　　

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