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数学 積分得意な方、お願いします
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積分領域D={(x,y)| |x|+|y|<=π/2} が x軸とy軸 にそれぞれ対称であり, かつ 被積分関数 f(x,y)=cosx cosy が x 及び y の偶関数であるから I= ∫∫[D] cosx cosy dxdy =4 ∫∫ [x+y<=π/2, x>=0, y>=0] cosx cosy dxdy =4 ∫[0, π/2] cosx {∫[0,π/2-x] cosy dy } dx =4 ∫[0, π/2] cosx {[sin y] [0,π/2-x]} dx =4 ∫[0, π/2] cosx sin(π/2-x) dx =4 ∫[0, π/2] cosx cosx dx =2 ∫[0, π/2] (1+cos(2x) dx =2 [x+(1/2)sin(2x)][0, π/2] = π ... (Ans.)
その他の回答 (2)
・・・ということは、積分領域を図示できないということですか？ ４点(pi/2, 0), (0, pi/2), (-pi/2, 0), (0, -pi/2) を頂点とする正方形の内部および周囲です。
I=∫[-pi/2~0]{∫[(-x-pi/2)~(x+pi/2)]cos(x)*cos(y)dy}dx +∫[0~pi/2]{∫[(x-pi/2)~(pi/2-x)]cos(x)*cos(y)dy}dx =pi. となりました。 ----------- ※計算ミスがあるかもしれません。
補足
解答ありがとうございます。 補足でお願いしたいのですが、積分自体は理解しましたが、積分範囲をどのように出したか解説お願いします。
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