線分の長さの積など

質問

１つ目はAP・PQ=|OA^2-OP^2|(OA^2~OP^2)。２つ目は面積が一定になる。がわからないので質問します。
定理「△ABCの外接円と同心の円周上の任意の点Pから3辺BC,CA,ABにおろした垂線の足をD,E,Fとすると。△DEFの面積は一定である。」
証明の初めは、△ABCの外心をOとする。APが円ABCとふたたび交わる点をQとし、点D,PからそれぞれEF,CQにおろした垂線の足をK,Lとする。・・・
△DEF=(1/2)APsinA・PQsinBsinCを証明する。この後
AP・PQ=|OA^2-OP^2|となるのですが、APとPQに余弦定理をつかい、その積をもとめたのですが、|OA^2-OP^2|になりませんでした。方べきの定理も使えないと思います。また、△ABCの外接円の半径をR,同心円の半径rとすると、
△DEF=(1/2)|R^2-r^2|sinAsinBsinC は一定と書いてあるのですが、これは△DEFが、
辺DE,EF,FDや∠D,∠E,∠Fなどによらないから一定ということでしょうか。
どなたか、AP・PQ=|OA^2-OP^2|の導き方と、△DEFが一定なる説明をお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

1.
点OからAQにおろした垂線の足をHとする

AO,OQは外接円の半径で|AO|=|OQ|で△AOQは2等辺3角形で|AH|=|HQ|だから
|AQ|=|AP|+|PQ|=2|AH|
↓両辺を2乗すると
(|AP|+|PQ|)^2=4|AH|^2
|AP|^2+|PQ|^2+2|AP||PQ|=4|AH|^2
↓|AH|^2=|AO|^2-|HO|^2だから
|AP|^2+|PQ|^2+2|AP||PQ|=4(|AO|^2-|HO|^2)
|AP|^2+|PQ|^2+2|AP||PQ|=4|AO|^2-4|HO|^2…(1)
余弦定理から
|AP|^2=|AO|^2+|OP|^2-2|AO||OP|cos∠AOP
|PQ|^2=|OP|^2+|AO|^2-2|OP||AO|cos∠POQ
↓この2行を加えると
|AP|^2+|PQ|^2=2|AO|^2+2|OP|^2-2|AO||OP|{cos∠AOP+cos∠POQ}
↓cos∠AOP+cos∠POQ
↓=2cos{(∠POQ+∠AOP)/2}cos{(∠POQ-∠AOP)/2}
↓=2cos(∠AOQ/2)cos{(∠POQ+∠AOP)/2-∠AOP}
↓=2cos(∠AOH)cos{∠AOQ/2-∠AOP}
↓=2cos(∠AOH)cos{∠AOH-∠AOP}
↓=2cos(∠AOH)cos(∠HOP)
↓だから
|AP|^2+|PQ|^2=2|AO|^2+2|OP|^2-4|AO||OP|cos(∠AOH)cos(∠HOP)
|AP|^2+|PQ|^2=2|AO|^2+2|OP|^2-4|AO|cos(∠AOH)|OP|cos(∠HOP)
↓|AO|cos∠AOH=|HO|
↓|OP|cos∠HOP=|HO|
↓だから
|AP|^2+|PQ|^2=2|AO|^2+2|OP|^2-4|HO|^2
↓これを(1)に代入すると
2|AO|^2+2|OP|^2-4|HO|^2+2|AP||PQ|=4|AO|^2-4|HO|^2
↓両辺を2で割ると
|AO|^2+|OP|^2-2|HO|^2+|AP||PQ|=2|AO|^2-2|HO|^2
↓両辺に2|HO|^2-|AO|^2-|OP|^2を加えると
∴
|AP||PQ|=|AO|^2-|OP|^2

2.
点Pの位置は△ABCの外接円と同心の円周上の任意の位置だから
点Pの位置が変化すれば、点D,E,Fも変化するけれども,

△DEFの面積は点Pの位置によらず一定

お礼

詳しい計算と、点Pの位置によらない・・・という説明ありがとうございます。