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円を環状に分割
積分を使って円の面積を求める方法がわかりません。 円をn個の環状に分け、各環の幅はΔrとする。半径r(i)の円と半径r(i+1)=r(i)+Δrの円との間の環の面積をS(i)とすると、半径rの円の周の長さは2πrだから。 2πr(i)Δr<S(i)<2πr(i+1)Δrであるから、円の面積は、Σ[i=0,n-1]2πr(i)Δrで近似できる。 と本に書いてあるのですが、Σ[0,n-1]でなぜiが0から始まり、n-1で終わるのかがわかりません。 円を3個の環に分割した際、円の面積の近似は、2πr(0)Δr+2πr(1)Δr+2πr(2)Δrになると思うのですが、2πr(0)Δrを、中心の一番小さい円の面積と考え、r(0)=Δrとすると、円の面積は π(Δr)^2=2πr(Δr)^2となっておかしいことになりました。式の2πr(1)Δrなどを、具体的な環の面積に対応させること自体が無理なのでしょうか？ どなたか、Σ[0,n-1]でなぜ0から始まり、n-1で終わるのかを説明してください。
- situmonn9876
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- nanashisan_
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積分とは細切れにしたものを足し合わせる計算です。 細切れをどんどん細かくしていく（nを∞に近づける）ことで真の答えに近づけます。n→∞の極限が真の答えです。 従って、nが小さいとき真の答えと差が大きいのは当然です。
- 178-tall
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>円をn個の環状に分け、各環の幅はΔrとする。 最も小さい「環」は？ 半径がゼロの円である中心 O (オー) と、半径がΔr の円との間の「環」。 添字ゼロに対応。 最も大きい「環」は？ 半径が (n-1)Δr の円と、半径がnΔr の円との間の「環」。 添字 n-1 に対応。 … で、「環」の数は n 個。
補足
良ければ返事を下さい。 2πr(0)Δrを添字ゼロだと考えたのですが、半径がゼロの円であるからr(0)=0 となって、最も小さい環は面積が0になる。環の数が少ないと信じられないですが、ｎ-1→∞とすると、最も小さい環は面積が0に近づき、積分の結果、円の面積が求まると考えてよいのでしょうか。
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お礼
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