AV

質問

正方形ABCDを底面とし、Vを頂点とする正四角錐において、底面と斜面のなす二面角が45°のとき、
となりあう二斜面のなす二面角を求めよ
（東大1968年前期理系問題2(文系問題2)だそうです)

これを　座標を設けて　A={-1,1,0};B={1,1,0};C={1,-1,0};D={-1,-1,0} ; V={0,0,1} (では　AVとなるが...)
　　　　　　　　　　2 平面を求め　て　解いて下さい;

　　　　　　平面H1=VABの方程式を明記すると ;_____________=0 　 法vectorは；

　　　　　　平面H2=VBCの方程式を明記すると;_____________=0　　法vectorは；

　　　　　　　　2 平面　H1,H2 のなす角は　；___________________.

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回答No.1

jcpmutura

A={-1,1,0}
B={1,1,0}
C={1,-1,0}
D={-1,-1,0}
V={0,0,1}

AB=B-A={2,0,0}
VB=B-V={1,1,-1}

平面H1=VABに含まれるvectorABとVBの外積はAB,VBの両方に垂直なvectorだから

AV×AB
=
|ex,ey,ez|
|1,-1,1|
|2,0.,0|
=
(|-1,1|,|1,1|,|1,-1|)
(|0.,0|,|0,2|,|2,0.|)
=
(0,2,2)
=
2(0,1,1)

だから
法vectorは(0,1,1)でV={0,0,1}を通る平面H1=VABの方程式は
0(x-0)+1(y-0)+1(z-1)=y+z-1=0
だから
平面H1=VABの方程式を明記すると;
y+z-1=0
法vectorは;
(0,1,1)
-------------------------------

VB=B-V={1,1,-1}
CB=B-C={0,2,0}

平面H1=VBCに含まれるvectorVBとCBの外積はVB,CBの両方に垂直なvectorだから

VB×CB
=
|ex,ey,ez|
|1,1,-1|
|0,2,0.|
=
(|1,-1|,|-1,1|,|1,1|
(|2,0.|,|0.,0|,|0,2|
=
(2,0,2)
=
2(1,0,1)

だから
法vectorは(1,0,1)でV={0,0,1}を通る平面H2=VBCの方程式は
1(x-0)+0(y-0)+1(z-1)=x+z-1=0
だから
平面H2=VBCの方程式を明記すると;
x+z-1=0
法vectorは
(1,0,1)

平面H1の法vector(0,1,1)と平面H2の法vector(1,0,1)の内積は
((0,1,1),(1,0,1))=1
=|(0,1,1)||(1,0,1)|cost
=(√2)(√2)cost
=2cost

cost=1/2
t=π/3
だから
2平面のなす角は;
60°