数学の規則性の問題について（中学生）

質問

規則をつかって解く問題のことなのですが、

(1/2×1/3)+(1/3×1/4)+(1/4×1/5)+(1/5×1/6)+(1/6×1/7)+(1/7×1/8)+(1/8×1/9)+(1/9×1/10)

この問題が解けなくて困っています。
かけて通分するという流れでする計算ではないよ、と言われました。
以下のヒントを使って考えればすぐに解けるとのことです。

ヒント(1)1/2-1/3=1/6
ヒント(2)1/2×1/3=1/6

もしこの質問を見た方で解けたという人がいらっしゃったら、その答えまでの考え方を教えてくださったら嬉しいです。

よろしくお願いします。

回答No.4

yougamaster · ベストアンサー

アップした画像の通りです。
最期には気持ちよく真ん中の分数が消えます。

回答No.5

noname#231363

ヒントを用いた解法は、既に出揃っていますので、ヒントを用いない解法を紹介します。

与式
=1/3×(1/2+1/4)+1/5×(1/4+1/6)+1/7×(1/6+1/8)+1/9×(1/8+1/10)
=1/3×3/4+1/5×5/12+1/7×7/24+1/9×9/40
上式で、1/3×3/4においてかけられる数の分母が3でかける数の分子が3であること、1/5×5/12においてかけられる数の分母が5でかける数の分子が5であること、1/7×7/24においてかけられる数の分母が7でかける数の分子が7であること、1/9×9/40においてかけられる数の分母が9でかける数の分子が9であることも、ある種の規則性であると考えることができます。
よって、
与式
=1/4+1/12+1/24+1/40
=30/120+10/120+5/120+3/120
=48/120
=2/5

なお、この解法は、『力技』と言うほど手間のかかるものでもなく、ヒントに気付かなくても簡単にできると思います。
また、与式の場合には、カッコで括った箇所が8つなので、最終的には4つの分数の和を求めるだけで済みますが（最後は、通分が必要になりますが、これも簡単です。）、カッコで括った箇所が多くなれば、ヒントを用いた方が簡単であることは言うまでもありません。
よって、この解法は、『邪道』だと思われるかもしれません。

回答No.3

cbm51901

No.2 です。
失礼しました。
No.1 さんの回答者さんの通り、最後の 1/10 はマイナスですね。
従って答は 1/2-1/10 = 5/10-1/10 = 4/10 = 0.4 です。

回答No.2

cbm51901

1/2-1/3=1/6　1/3-1/4=1/12　1/4-1/5=1/20 ....
1/2×1/3=1/6　1/3x1/4=1/12　1/4x1/5=1/20 ....

(1/2×1/3)+(1/3×1/4)+(1/4×1/5)+(1/5×1/6)+(1/6×1/7)+(1/7×1/8)+(1/8×1/9)+(1/9×1/10)

= (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + ..........
= 1/2 + 1/10
= 6/10
= 3/4
= 0.75

回答No.1

92128bwsd

1/2 x 1/3 = 1/2 x 1/(2+1) ですので、法則性があるかどうかを分母の2 を aに3を(a+1)に置き換えて一般化してみます。すると、

1/a x 1/(a+1) = 1/a(a+1) = ((a+1) - a) /a(a+1) = (a+1)/a(a+1) - a/a(a+1) となり、更に
= 1/a - 1/(a+1) となります。そうすると、
1/2 x 1/3 = 1/2 -1/3 は偶然ではなく、他の隣り合った数字の分母の組み合わせであれば規則性があることがわかります。そうすると、
(1/2×1/3)+(1/3×1/4)+(1/4×1/5)+(1/5×1/6)+(1/6×1/7)+(1/7×1/8)+(1/8×1/9)+(1/9×1/10)
= (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + (1/4-1/5) + (1/5-1/6) ....
= 1/2 - 1/10 と簡単な計算になり
= 2/5 になります。