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もう1つ・・・ベクトルについて。
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まず、三角形OABを考えてください。このときの三角形は逆三角形で考えるとさらに分かりやすいです。そうするとOを始点とし、その上に線分ABがくるはずです。 そしてその線分AB上のどこかに点Pをとります。 すると(ベクトルOP)=(ベクトルOA)+(ベクトルAP)となりますね。 ここで点Pは線分AB上にとってあるので(ベクトルAP)=t倍(例えばt=0.5)の (ベクトルAB)となります。 つまり(ベクトルOP)=(ベクトルOA)+t*(ベクトルAB)-(1)ということです。 さらに(ベクトルAB)=(ベクトルOB)-(ベクトルOA)ですから、 これを(1)に代入すると (ベクトルOP)=(ベクトルOA)+t*[(ベクトルOB)-(ベクトルOA)]となります。 これを整理すると(ベクトルOP)=(1-t)*(ベクトルOA)+t*(ベクトルOB)-(2)となります。(2)は線分ABを t:1-tに内分していることと同じですよね。 ですから t:1-tや1-t:tと置くわけです。 簡単に言うとベクトル方程式といいます。 もし、分からなければまた書きます。
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- motsuan
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たとえば、極端な場合を考えて ベクトルではなく、数直線の上で考えてみればいいと思います。 原点O(x=0)からA(x=1)の間の点をB(x=t)と置くと 原点Oから点Bまでの距離はt、点Aから点Bまでの距離は1-t となります。つまり、単純に間の点の位置を (t^2とかややこしい関係にしないで) パラメータで表しただけというのがわかるかと思います。 ここから一般化して ベクトルで物事を考えると座標系をどのようにとっても 性質は変わらないので、ベクトルP、Qが与えられたとき 座標系としてPを原点、Qを上記のAとして、かつ、PQの長さが 1になるような系を考えれば自然な値の置き方になると思います。 (ややこしく考えているように見えると思いますが、 難しい問題を解くときには、 簡単な系に移して見ると わりと簡単に解けたりすることもあります。 もちろん、この場合は説明のためですが)
- ryumu
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べつに、x:yでも良いんですよ。 ただ、全体を1,すなわちx+y=1とした方が、比を扱う上で楽だし、 そうすると、y=1-x、となるので、結局 x:1-x と置くことになるのです。
- taropoo
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原点0、点A、点Bがあったとして点A、点Bの位置ベクトルをa,b(上に→がついてると思ってください。)で表すと、 a,bが平行じゃない時、平面上の全ての点の位置ベクトルは2つの数x,yを使って xa+yb …(i) と表す事が出来るんです。 その中でもx+y=1と限定した時、(i)は直線AB上の点を表すのです。 さらにx≧0,y≧0の時、(i)は線分AB上の点を表します。つまり内分点です。 そこでこのようにx+y=1,x≧0,y≧0と断わって xa+yb …(i) と表す代わりに、xをtに置き換え、yを1-tにおきかえると t + (1-t) = 1 となり、t≧0, 1-t≧0 すなわち0≦t≦1という条件の元に ta+(1-t)b …(ii) と1つの変数で表す事が出来るのです。 分かっていただけたでしょうか?説明するのって難しいですね。
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