回転してできる円錐の体積の最大値

質問

底面積がわからず、体積が求まりません。問題は、
　長さ6の線分ABを直径とする半円の周上に点Pをとり、Pから線分ABに垂線PHを下ろす。△PAHを線分ABの周りに1回転してできる円錐の体積の最大値を求めよ。
というものです。
AHをｘとしたとき、PHをｘで表して、πPH^2で底面積を計算し、
π×∫[0→6]{PH^2}dxと考えたのですが、PHをｘを用いて表せません。△ABP∽△APHからPHをｘで表そうとしたのですが、できませんでした。
問題の答えは、(32/3)π　(AH=4のとき)　です。どなたか問題の解き方を教えてください。お願いします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

AH=x (0<x<6), PH=y (0<y<=3), AO=3
(x-3)^2+y^2=3^2

PH^2=y^2=9-(x-3)^2=6x-x^2
V=(1/3)*AH*pi*PH^2=(1/3)*x*pi*(6x-x^2)=(pi/3)(6x^2-x^3)
dV/dx=(pi/3)*3x(4-x)
0<x<4で dV/dx>0 , V は単調増加。
4<x<6で dV/dx<0 , V は単調減少。
x=4で dV/dx=0, V は 極大(最大)。
x=4で
V=Vmax=(pi/3)*16(6-4)
=32pi/3 ... (Ans.)

お礼

中学生で習った、円錐の体積の公式を使った、説明ありがとうございます。

回答No.2

noname#232123

円の中心をOとし、OH=x、(|x|<3)とすると、
V=(pi/3)*PH^2*AH
=(pi/3)*(9 - x^2)(3+x). ですから、
dV/dx=-pi(x+2)(x-1) より、x=1のときVは最大になることがわかります。

お礼

微分で最大、を見つけるですね。ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

A=(0,0)
とすると
|AB|=6
だから
B=(6,0)
ABが直径だから
円の中心は
O=(3,0)
で半径は3だから
円の方程式は
(x-3)^2+y^2=9
だから
x^2-6x+y^2=0
y^2=6x-x^2
半円の方程式は
y=√(6x-x^2)
だから
H=(x,0)
P=(x,√(6x-x^2))
とすると
|AH|=x
|PH|=√(6x-x^2)
直線APの方程式は
g(t)=[{√(6x-x^2)}/x]t
だから
円錐の体積は
f(x)
=π∫_{0～x}[{g(t)}^2]dt
=π{(6-x)/x}∫_{0～x}(t^2)dt
=π{(6-x)/x}[t^3/3]_{0～x}
=π(6-x)x^2/3
=π(6x^2-x^3)/3

f'(x)=πx(4-x)
x<4の時f'(x)>0だからf(x)は増加
x>4の時f'(x)<0だからf(x)は減少
x=4の時f(x)は最大値
f(4)
=π(6-4)4^2/3
=(32/3)π

お礼

直線APの方程式を導いて下さり、ありがとうございます。