非線型

質問

●非線型漸化式　a[n + 2] = (a[n + 1]^2 + 1)/a[n], a[1] = 2, a[2] = 6
の　解　a[n]を求め　a[n]∈N (a(N)⊂N) を　証明願います;

a[1]=自然数,a[2]=自然数　で　a(N)⊂N なる　初期条件の例を提示下さい;

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n]

a[1]=2
a[2]=6
の時
a[3]=(a[2]^2+1)/a[1]=(6^2+1)/2=37/2=18.5
は自然数でないので
a[n]∈N({a[n]}⊂N)となるような自然数解a[n]は存在しません

(a[1]=2,a[2]=6)は誤りです。

a[1]=1
a[2]=1
とすると
a[3]=(a[2]^2+1)/a[1]=(1^2+1)/1=2∈N
a[4]=(a[3]^2+1)/a[2]=(2^2+1)/1=5∈N
ある自然数nに対して
a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n]∈N
a[n+3]=(a[n+2]^2+1)/a[n+1]∈N
と仮定して
両辺にa[n+1]をかけると
a[n+3]a[n+1]=a[n+2]^2+1
両辺を2乗すると
(a[n+3])^2(a[n+1])^2=(a[n+2]^2+1)^2
両辺に(a[n+1])^2を加えると
(a[n+3])^2(a[n+1])^2+(a[n+1])^2=(a[n+2]^2+1)^2+(a[n+1])^2
{(a[n+3])^2+1}(a[n+1])^2=(a[n+2])^4+2(a[n+2])^2+1+(a[n+1])^2
↓a[n+2]a[n]=1+(a[n+1])^2だから
{(a[n+3])^2+1}(a[n+1])^2=(a[n+2])^4+2(a[n+2])^2+a[n+2]a[n]
{(a[n+3])^2+1}(a[n+1])^2=a[n+2]{(a[n+2])^3+2a[n+2]+a[n]}
↓a[n+2]a[n]-1=(a[n+1])^2だから
{(a[n+3])^2+1}{a[n+2]a[n]-1}=a[n+2]{(a[n+2])^3+2a[n+2]+a[n]}
{a[n+2]a[n]-1}とa[n+2]は互いに素だから
自然数{(a[n+3])^2+1}は自然数a[n+2]で割り切れるから
a[n+4]=(a[n+3])^2+1}/a[n+2]∈N
だから
全ての自然数nに対して
a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n]∈N
だから

a[1]=1
a[2]=1
の時
a[n]∈N(a[n]⊂N)
が成り立つ

Z=(全整数)
とする
{a[n]}_{n∈N}
に対して
a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n]
a[n]∈N
が成り立つとする
m=n+2とすると
a[m]=(a[m-1]^2+1)/a[m-2]
a[m]a[m-2]=(a[m-1]^2+1)
a[m-2]=(a[m-1]^2+1)/a[m]
だから
n≧3の整数nに対して
a[n-2]=(a[n-1]^2+1)/a[n]∈N
が成り立つ
ある整数n∈Zに対して
m≧nの整数mに対して
(a[m-1]^2+1)/a[m]∈N
となり
a[m-2]=(a[m-1]^2+1)/a[m]
と整数m-2から自然数への関数が
定義できていると仮定すると
a[n-1]=(a[n]^2+1)/a[n+1]∈N
a[n-2]=(a[n-1]^2+1)/a[n]∈N
両辺にa[n]をかけると
a[n-2]a[n]=a[n-1]^2+1
両辺を2乗すると
(a[n-2])^2(a[n])^2=(a[n-1]^2+1)^2
両辺に(a[n])^2を加えると
(a[n-2])^2(a[n])^2+(a[n])^2=(a[n-1]^2+1)^2+(a[n])^2
{(a[n-2])^2+1}(a[n])^2=(a[n-1])^4+2(a[n-1])^2+1+(a[n])^2
↓a[n-1]a[n+1]=1+(a[n])^2だから
{(a[n-2])^2+1}(a[n])^2=(a[n-1])^4+2(a[n-1])^2+a[n-1]a[n+1]
{(a[n-2])^2+1}(a[n])^2=a[n-1]{(a[n-1])^3+2a[n-1]+a[n+1]}
↓a[n-1]a[n+1]-1=(a[n])^2だから
{(a[n-2])^2+1}{a[n-1]a[n+1]-1}=a[n-1]{(a[n-1])^3+2a[n-1]+a[n+1]}
{a[n-1]a[n+1]-1}とa[n-1]は互いに素だから
自然数{(a[n-2])^2+1}は自然数a[n-1]で割り切れるから
(a[n-2])^2+1}/a[n-1]∈N
だから
a[n-3]=(a[n+3])^2+1}/a[n+2]
と整数n-3から自然数への関数が定義できる
だから
すべての整数n∈Zに対して
a[n-2]=(a[n-1]^2+1)/a[n]∈N
となるように
整数n-2から自然数への関数が
定義できる.
m=n-2とすると
a[m]=(a[m+1]^2+1)/a[m+2]
a[m+2]a[m]=a[m+1]^2+1
a[m+2]=(a[m+1]^2+1)/a[m]
だから
すべての整数n∈Zに対して
a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n]∈N
となるように
整数n+2から自然数への関数が
定義できる.

a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n]∈N
となるような整数から自然数への関数
a:Z→N
は値域が自然数だから
{a[n]}_{n∈Z}
の中に最小値
a[n]=min{a[k]}_{k∈Z}
となるn∈Zがある

a[n-1]≧a[n]≦a[n+1]

a[n+1]a[n-1]=a[n]^2+1
で
a[n+1]=a[n-1]を仮定すると
a[n+1]^2-a[n]^2=(a[n+1]+a[n])(a[n+1]-a[n])=1
(a[n+1]+a[n]=1)&(a[n+1]-a[n]=1)又は(a[n+1]+a[n]=-1)&(a[n+1]-a[n]=-1)
(a[n+1]+a[n]=1)&(a[n+1]-a[n]=1)の時a[n]=0となってa[n]が自然数である事に矛盾
(a[n+1]+a[n]=-1)&(a[n+1]-a[n]=-1)の時a[n]=0となってa[n]が自然数である事に矛盾
だから
a[n+1]≠a[n-1]
となる

a[n-1]>a[n+1]
の時
a[n-1]-1≧a[n+1]≧a[n]
a[n+1](a[n-1]-1)+1≧a[n]^2+1=a[n+1]a[n-1]
a[n+1]a[n-1]-a[n+1]+1≧a[n+1]a[n-1]
0<a[n+1]≦1
0<a[n]≦a[n+1]=1
a[n]=1

a[n+1]>a[n-1]
の時
a[n+1]-1≧a[n-1]≧a[n]
a[n-1](a[n+1]-1)+1≧a[n]^2+1=a[n+1]a[n-1]
a[n-1]a[n+1]-a[n-1]+1≧a[n+1]a[n-1]
0<a[n-1]≦1
0<a[n]≦a[n-1]=1
a[n]=1

a[n+2]=(a[n+1]^2+1)/a[n]∈N
となるような整数から自然数への関数
a:Z→N
の最小値は必ず
a[n]=1
となり
a[n-1]=1.又は.a[n+1]=1.のどちらかだけ成り立つ

a[n]=1
a[n+1]=1,となるnを1とすると

a[1]=1
a[2]=1
a[3]=(a[2]^2+1)/a[1]=(1^2+1)/1=2
a[4]=(a[3]^2+1)/a[2]=(2^2+1)/1=5=4+1
a[5]=(a[4]^2+1)/a[3]=(5^2+1)/2=13=4*3+1
a[6]=(a[5]^2+1)/a[4]=(13^2+1)/5=34=2(4*4+1)
a[7]=(a[6]^2+1)/a[5]=(34^2+1)/13=89=4*22+1
a[8]=(a[7]^2+1)/a[6]=(89^2+1)/34=233=4*58+1
a[9]=(a[8]^2+1)/a[7]=(233^2+1)/89=610=2(4*76+1)
a[10]=(a[9]^2+1)/a[8]=(610^2+1)/233=1597=4*399+1
a[11]=(a[10]^2+1)/a[9]=(1597^2+1)/610=4181=4*1045+1
a[12]=(a[11]^2+1)/a[10]=(4181^2+1)/1597=10946=2(4*1368+1)
a[13]=(a[12]^2+1)/a[11]=(10946^2+1)/4181=28657=4*7164+1
a[14]=(a[13]^2+1)/a[12]=(28657^2+1)/10946=75025=4*18756+1
a[15]=(a[14]^2+1)/a[13]=(75025^2+1)/28657=196418=2(4*24552+1)
a[16]=(a[15]^2+1)/a[14]=(196418^2+1)/75025=514229=4*128557+1
a[17]=(a[16]^2+1)/a[15]=(514229^2+1)/196418=1346269=4*336567+1
a[18]=(a[17]^2+1)/a[16]=(1346269^2+1)/514229=3524578=2(4*440572+1)
a[19]=(a[18]^2+1)/a[17]=(3524578^2+1)/1346269=9227465=4*2306866+1
a[20]=(a[19]^2+1)/a[18]=(9227465^2+1)/3524578=24157817=4*6039454+1
…