極限

質問

lim[q→0]{1-cos(qa)}=(1/2)(qa)^2

上の式のようになるのはなぜですか？詳しい途中式お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

lim[q→0]{1-cos(qa)}=lim[q→0]{1-cos^2(qa)}/{1+cos(qa)}
=lim[q→0]{sin^2(qa)}/{1+cos(0)}
=lim[q→0]{sin^2(qa)}/2
= lim[q→0](1/2){sin(qa)/(qa)}^2 *(qa)^2
= lim[q→0]{(1/2)(qa)^2}* lim[q→0]{sin(qa)/(qa)}^2
= lim[q→0]{(1/2)(qa)^2}* [lim[q→0]{sin(qa)/(qa)}]^2
= lim[q→0]{(1/2)(qa)^2}*1^2
= lim[q→0]{(1/2)(qa)^2}
=(1/2)*0^2=0
となるはずであるが
q→0の時, つまり|q|~0の近傍では
{1-cos(qa)} ~ (1/2)(qa)^2
なる近似式も成り立っていると言える。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。