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不定方程式

C; 36*x^2 + 8*x*y + 14*x - 19*y^2 - 14*y + 14=0 は 「双曲線で 漸近線が在る」 と 少女A. (うちの女房にゃ髭がある は、1936年公開の千葉泰樹監督の日活映画。とAの傍らの祖父) (1)C上の格子点をすべて求めて下さい; (2)漸近線をも求めて下さい;

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  • info222_
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回答No.1

C; 36*x^2 + 8*x*y + 14*x - 19*y^2 - 14*y + 14=0 ...[1] (1) (x,y)をC上の格子点とすれば x,yは整数なので y=(4*x-7±sqrt(35)*sqrt(20*x^2+6*x+9))/19 20*x^2+6*x+9>0 35(20*x^2+6*x+9)=k^2 (kは≠0, 整数) 20*x^2+6*x+9=35v^2 (v≠0,整数>0) 例えば v=1とすると, 20*x^2+6*x+9=35 これを満たす整数:x=1,この時y=-2 格子点:(x,y)=(1,-2) etc. (2) 漸近線: y=mx+n ...[2] ととおく。 [2]を[1]に代入して整理すると h2*x^2+h1*x+h0=0 ...[3] h2=-19*m^2+8*m+36 ...[4] h1=-38*m*n+8*n-14*m+14 ...[5] h0=-19*n^2-14*n+14 ...[6] 漸近線が満たすべき条件: h2=h1=0から [m,n]=[-(2*(5*sqrt(7)-2))/19, -(3*sqrt(7)+14)/38] ...[7], [(2*(5*sqrt(7)+2))/19, (3*sqrt(7)-14)/38] ...[8] [2] に代入すれば 2本の漸近線: y=-(2·(5 sqrt(7)-2)·x)/19-(3·sqrt(7)+14)/38 ...[9] y=(2·(5·sqrt(7)+2)·x)/19+(3·sqrt(7)-14)/38 ... [10] が求まる。 なお , 2本の漸近線の交点の 座標を求めて置くと (-3/20, -2/5) ... (双曲線の中心座標)

nanjanb
質問者

補足

>格子点:(x,y)=(1,-2) etc. etc の子細をこそ知りたい と 少女A 知りたい と 云わないひとは いない [知りたくないの・コニーフランシス ]

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