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・ある飛行機にはエンジンが2基搭載されており1基が動けば飛行可能である。2基のエンジンの寿命は平均μ時間の指数分布に従い独立である。この飛行機の飛行可能時間の期待値を求めよ。
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2基のエンジンの寿命は平均μ時間の指数分布に従うから確率密度関数は x≧0→f(x)=(1/μ)e^{-x/μ} x<0→f(x)=0 だから この飛行機の飛行可能時間の期待値は ∫_{0~∞}(1/μ)ye^{-y/μ}∫_{0~y}(1/μ)e^{-x/μ}dxdy +∫_{0~∞}(1/μ)xe^{-x/μ}∫_{0~x}(1/μ)e^{-y/μ}dydx = (2/μ^2)∫_{0~∞}ye^{-y/μ}∫_{0~y}e^{-x/μ}dxdy = (2/μ)∫_{0~∞}ye^{-y/μ}[-e^{-x/μ}]_{0~y}dy = (2/μ)∫_{0~∞}ye^{-y/μ}(1-e^{-y/μ})dy = (2/μ)∫_{0~∞}y(e^{-y/μ}-e^{-2y/μ})dy = (2/μ)[-∫_{0~∞}(-μe^{-y/μ}+(μ/2)e^{-2y/μ})dy] = ∫_{0~∞}(2e^{-y/μ}-e^{-2y/μ})dy = [-2μe^{-y/μ}+(μ/2)e^{-2y/μ}]_{0~∞} = 2μ-μ/2 = 3μ/2
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よくわかりました。丁寧にありがとうございました!