数学II 余剰定理の問題

質問

P(x)=x^75-2x^50+3x^25をx^2+x+1で割った余りを求めよ。

この問題、自分は合同式を使って解いたのですがこれで良いのでしょうか。何か減点になるような所があれば訂正していただきたいです。

(解答)

x^3 ≡ 1 (mod x^2+x+1)
x^75 - 2x^50 + 3x^25 ≡ 1 - 2x^2 + 3x ≡ 5x+3(mod x^2+x+1)

また、1の三乗根のうち虚数であるものの一つをωとした時の詳しい解答方法も教えていただきたいです。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

> 何か減点になるような所があれば訂正していただきたいです。

式だけを羅列するのは良くない。ちゃんとした日本語の文章を書いて，その中に式を埋め込むように解答を作ってください。

> 1の三乗根のうち虚数であるものの一つをωとした時の解答方法

ω^3=1とω^2+ω+1=0が成り立つので
P(ω)=ω^75-2ω^50+3ω^25=1-2ω^2+3ω=5ω+3
となる。従って，ある多項式Q(x)を用いて
P(x)=Q(x)*(x^2+x+1)+R(x)
と書いたときのR(x)はxの1次式でありR(ω)=5ω+3を満たす。このようなR(x)は
R(x)=5x+3
しかない。従ってP(x)をx^2+x+1で割った余りは5x+3である。

回答No.1

info222_

>同式を使って解いたのですがこれで良いのでしょうか。

5x+3 で合ってます。

[]
1の三乗根のうち虚数であるものの一つをw(≠1)とした時
w^3-1=(w-1)(w^2+w+1)=0
w^2+w+1=0
w^3=1
P(w)=w^75-2w^50+3w^25=(w^3)^25-2((w^3)^16)w^2+3((w^3)^8)w
=1-2w^2+3w
=1+2(w+1)+3w
=5w+3
P(x)=Q(x)(x^3-1)-2x^2+3x+1
=Q(x)(x^3-1)-2(x^2+x+1)+5x+3
={Q(x)(x-1)-2}(x^2+x+1)+R(x)

余りR(x)=5x+3

補足

最後の式
=Q(x)(x^3-1)-2(x^2+x+1)+5x+3
={Q(x)(x-1)-2}(x^2+x+1)+R(x)
の部分は何を行ってるのでしょうか？