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解法を教えて下さい。対偶です。
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- 対偶に関する問題です。
問題）正の整数ａ，ｂに対して、ａ＾２＋ｂ＾２＞５０ならば、ａまたはｂは５より大きい。 このことを、この命題の対偶を考えることにより証明せよ。この命題の対偶が、 テキストの模範解答には 「正の数ａ，ｂに対して、ａ≦５かつｂ≦５→ａ＾２＋ｂ＾２≦５０」となっています。 しかし、ある指導者の解答では 「ａかつｂが５以下→ａ＾２＋ｂ＾２≦５０」となっていました。 どちらも正しいでしょうか？ また 以下の命題の対偶の書き方は成り立つでしょうか？ 「（ａ∪ｂ）≦５→ａ＾２＋ｂ＾２≦５０」 よろしくお願いします。
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- 対偶とは？教科書は間違っているのでは
数種の教科書に p⇒q と、qでない⇒pでない（今後pでないを￢pと書くことにする） は互に対偶とあったが、これはおかしいのではないか? ￢q⇒￢pの対偶は￢￢p⇒￢￢qでなければならないのではないか。 ￢￢pと pは同じだから良いと云う者がいるが同じとは何かと聞くと同値と答える。 それなら￢q⇒￢pとp⇒qは同値だからp⇒qの対偶はp⇒qでいいのか？ これは駄目と云う、何故と聞くと屁理屈云うな（数学奴はよく屁理屈云うと云われる） 屁理屈ならこの理屈の、どこが如何間違っているか指摘出来る筈と云うとまた屁理屈云うな （屁理屈とは理屈は正しいが気にいらない）ということかな？ 同じが＝と云うことならそれでいいがpと￢￢pは、1記号と３記号で違うし、￢￢pの省略記号がpと考えるなら良いがそれならpは￢￢￢￢pもか・・・・？決まらない なお直感論理でも対偶と云う言葉が有るがp⇒qから￢q⇒￢pはでるが、￢q⇒￢pからp⇒qは出ない しかし、￢q⇒￢pとその対偶は￢￢p⇒￢￢qは同値になる。 本当に云いたいのは 今年度の大学入試センター試験 数学I・数学Aの問題 q：|a+b|<1または|a-2b|<2 等の時 「p⇒q」の対偶は「ツ⇒テ」のツを下から選ぶ問題 下に qでない は無い（同値のものはあるが）。 生徒たちは「アホな出題者」と思いながら同値なものを選ぶだろうから実害はないが問題は間違っている。数学でなければ許されるだろうが数学では許されるべきではない。 多分入試センターでは同値だからと言い訳をするだろうがそれなら、p (下にある）としたものを間違とし得るだろうか？（多分間違いとしただろうが） もしqが 1＝1 なら「ツ」として、「125＝14」や「正三角形はπ/3より大きいの頂角を持つ」でも良いのか聞きたい。
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