対数に関して

質問

log_2(2)は公式より答えは1になりますが、

log_2(5)はどのように計算するのでしょうか?(小数点第４位までとする)

log_2(10)－log_2(5)などとしても結局log_2(10)が分かりません。
問題にもlog_2( )=×××とする～などの文言もなければ対数表などもついていません。
このまま解けるものでしょうか?
ヨロシクお願いします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

>log_2(5)はどのように計算するのでしょうか?(小数点第４位までとする)

x=log_2(5)=log_10(5)/log_10(2)
=log_10(10/2)/log_10(2)
={1-log_10(2)}/log10(2)
=1/log_10(2) -1

>問題にもlog_2( )=×××とする～などの文言もなければ対数表などもついていません。
常用対数の log_10(2)≒0.30103, log_10(3)≒0.47712 などを使う問題なのでしょう。
通常はこれらの値が与えられている場合が多いですが, これらの値を覚えてる(覚えさせられた) 人も多いかと思います。
log_10(2)≒0.30103 であることをを使えば

=1/log_10(2) -1
≒1/0.30103 -1
=3.3219 -1
=2.3219 ...(Ans.)

[参考]
log_2(5)=2.32192809...

お礼

やはり常用対数の log_10(2)≒0.30103, log_10(3)≒0.47712 を使うのが一般的ですよねえ・・・
遅くなりましたが、ありがとうございました。

回答No.6

178-tall

> (Newton 逐次近似はシンプルです)
> …
> x が 1 に近ければ、　　LN(x) ≒ 2(x-1)/(x+1)　… というのが「 Pade 近似算式」。

電卓やスプレッドシートにて勘定。

たとえば、x から平方根を逐次勘定していく。
　√(2) = 1.41421
　√(2) = 1.18921
　√√(2) = 1.09051
　√√√(2) = 1.04427
　√√√√(2) = 1.02190 = x^(1/2^5) = x^(1/32)
まで行き、
「Pade 近似算式」に入れ、
　LN( x^(1/32) ) ≒ 0.02166
　LN(2) = 2^5 * 0.02166 ≒ 0.69312
に到着。

平方根勘定を避ける「Newton 逐次近似」では、
　x^32 = 2
を Newton 近似で解くため、近似解を 32 乗せねばならぬ。

最少の予備知識で勘定できるだけが取り得か？

お礼

遅くなりましたが、ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

蛇足。
多乗根の Newton 逐次近似を利用する例 … 。

　LOG_2(5) = LN(5)/LN(2)
　= { 2LN(2) + LN(1.25) } / LN(2)
　= 2 + LN(1.25) / LN(2)

と分解し、LN の求値に多乗根 Newton 逐次近似を利用して、
　LN(1.25) ≒ 0.2231
　LN(2) ≒ 0.6931
　　　↓
　LOG_2(5) ≒ 2 + 0.2231/0.6931 = 2.3219

お礼

遅くなりましたが、ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>log_2(5)はどのように計算するのでしょうか?(小数点第４位までとする)

log_2(5) = LN(5)/LN(2) かナ。

指数関数系で利用されるのは Pade 近似算式。
x が 1 に近ければ、
　LN(x) ≒ 2(x-1)/(x+1)
… というのが「 Pade 近似算式」。

だが 5 はでかすぎ。
　LN(5) ≒ 1.6094 … に対し、2(5-1)/(5+1) = 8/6 ≒ 1.3333 … 。
逆数の勘定でも、
　LN(1/5) ≒ -1.6094 … に対し、2(1/5 - 1)/(1/5 + 1) = 8/6 ≒ -1.3333 … 。

ここで、ものは試し。
5 の 20 乗根を Newton 逐次近似で勘定し x = 1.08380 … を得、
　LN(5)/20 ≒ 2(1.08380-1)/(1.08380+1) = 0.0804285
　LN(5) ≒ 0.0804285*20 = 1.6096
なる近似値。
(Newton 逐次近似はシンプルですヨ)

お礼

遅くなりましたが、ありがとうございました。

回答No.3

staratras

以下の回答でlnは底をeとする自然対数を表わすものとします。完全な手計算でも小数第4位までくらいの近似値は比較的容易に求められます。

log_2(5)=(ln5/ln2)なので、log_2(5)をもとめることはln5とln2を求めることに帰着します。

ここで収束が早い下の級数（１）でn=1として初めの5項だけを計算してみます。
ln(n+1)-ln(n)=2{(1/(2n+1)+1/3(2n+1)^3+1/5(2n+1)^5+1/7(2n+1)^7+1/9(2n+1)^9…}　　…（１）
ln2-ln1=ln2≒2/3{1+1/27+1/405+1/5103+1/59049}
≒2/3(1+0.037037+0.002469+0.000196+0.00002)
≒(2/3)1.039722≒0.69314
したがってln4=2ln2≒1.38629
（１）にn=4を代入して初めの4項をとれば
ln5-ln4≒2/9{1+1/243+1/32885+1/295245}
≒(2/9）(1+0.004115+0.0000304+0.000003)=0.22314
ln5≒1.38629+0.22314≒1.60943

したがってlog_2(5)=(ln5/ln2)≒1.60943/0.69314≒2.3219

お礼

lnの登場ですね・・・
遅くなりましたが、ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞log_2(10)－log_2(5)などとしても
この式は、log_2(5)を求めるのに役立ちません。単に1になるだけですから。

＞問題にもlog_2( )=×××とする～などの文言もなければ対数表などもついていません。
だとすると解けません。

お礼

やっぱり電卓でも使わない限り解けないですよね(-_-;)
ありがとうございました