運動方程式、円柱座標の勾配と座標変換

質問

円柱座標では∇ = (∂/∂r, (1/r) ∂/∂θ, ∂/∂z)ですが、この勾配とv=(vr, vθ, vz)の内積をとると∇・v = (1/r) ∂/∂r (r vr)+ (1/r) ∂/∂θ (vθ) + ∂/∂z (vz)と右辺1項目の微分の中身が(r vr)となるのはなぜでしょうか？

デカルト座標の運動方程式を円柱座標に直してみようと思いましたが、そもそもvx (∂vx/∂x)のvxをどうやってvr, vθ, vzで表すのでしょうか?

ご回答何卒よろしくお願い致します。

回答No.2

kiyos06 · ベストアンサー

>2次元であれば、Vx=(cosθ)Vr+(-rsinθ)Vθ, Vy=(sinθ)Vr+(rcosθ)Vθを代入して展開するのでしょうか?
20)Vθの定義による。
20.1)θ方向のV
20.1.1)Vx =cosθ Vr -sinθ Vθ
20.2)θが変化した時の変化分
20.2.1)Vx =cosθ Vr -1/r sinθ Vθ

>微分演算子∂()/∂x の()にはVx?それともVrが入るのでしょうか?
21.1)ポテンシャルU
21.2)力場等の分布F

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n296821

回答No.1

kiyos06

0)vは既に、偏微分されている。
0.1)x =rcosθ
0.2)y =rsinθ

1.1)∂/∂x =∂/∂r ∂r/∂x +∂/∂θ ∂θ/∂x
2.1)∂/∂x =cosθ ∂/∂r -1/r sinθ ∂/∂θ
2.2)∂/∂y =sinθ ∂/∂r +1/r cosθ ∂/∂θ

3.1)∂^2/∂x^2 =(cosθ ∂/∂r -1/r sinθ ∂/∂θ) (cosθ ∂/∂r -1/r sinθ ∂/∂θ)
=(cosθ)^2 ∂^2/∂r^2 +1/r^2 cosθ sinθ ∂/∂θ +1/r (sinθ)^2 ∂/∂r +1/r^2 sinθ cosθ ∂/∂θ +1/r^2 (sinθ)^2 ∂^2/∂θ^2

3.2)∂^2/∂y^2 =(sinθ ∂/∂r +1/r cosθ ∂/∂θ) (sinθ ∂/∂r +1/r cosθ ∂/∂θ)
=(sinθ)^2 ∂^2/∂r^2 -1/r^2 sinθ cosθ ∂/∂θ +1/r (cosθ)^2 ∂/∂r -1/r^2 cosθ sinθ ∂/∂θ +1/r^2 (cosθ)^2 ∂^2/∂θ^2

4)∂^2/∂x^2 +∂^2/∂y^2 =∂^2/∂r^2 +1/r ∂/∂r +1/r^2 ∂^2/∂θ^2
=1/r ∂/∂r (r ∂/∂r) +1/r^2 ∂^2/∂θ^2

5)YahooやGoogleで「円筒座標 ナブラ」「円筒座標 ラプラシアン」を検索する。

10)到達できる検索法:参考URL

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n320452

補足

0)vは既に、偏微分されている。
ー>　2次元であれば、Vx=(cosθ)Vr+(-rsinθ)Vθ, Vy=(sinθ)Vr+(rcosθ)Vθを代入して展開するのでしょうか?

微分演算子∂()/∂x の()にはVx?それともVrが入るのでしょうか?