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すべての素数の積は、なぜ40未満なのですか？
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- 回答No.5
- lx002PH
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正の整数nから1ずつ引いた数を1になるまですべて掛け算した結果をn!と書きます。 5!=5*4*3*2*1=120 定義から0!は考えられませんが、 (※) n! = {1*2*3*4*...}/{(n+1)*(n+2)*(n+3)+(n+4)*...} と見直してみましょう。たとえば 5! = {1*2*3*4*5*6*7*8*...}/{6*7*8*...} なので約分して = 1*2*3*4*5 となるように、正の整数nについては、今までと同じ計算になります。しかも、 0! = {1*2*3*...}/{1*2*3*...} だから約分して = 1 と計算できるようになり、本来なら無意味な0!についても 0!=1 と考えることができます。 もちろんこれは数学的には嘘であり間違いです。あのようにしたら、n!=∞/∞でそもそも定義されません。約分というけど、分母のkと分子の2kで約分したら、分子には2が無限に残りますから、約分後の積は∞と考えたっていいわけです。このように、新しい計算式は定義になってません。しかし、 Γ(x)=∫[0,∞]t^(x-1)・e^-tdt は正の整数nについて Γ(n+1)=n! であり、Γ(1)=1なので、0!=1と書きたくなる根拠となりますし、実際今では当たり前のように0!=1と書いてます。 正の整数すべての和を 1+2+3+...=-1/12 などと書いている人がいます。もちろんこれも間違いですが、 ζ(n)=1/1^n+1/2^n+1/3^n+... が正の整数nについて成り立つことと ζ(-1)=-1/12 から、 1+2+3+...=-1/12 と書きたくなる根拠はあるわけです。 2*3*5*7*...=4π^2 という計算は、形式的な変形でこうもできるというものですが、実際は(※)みたいなもので、数学的には間違いです。そして、Γ関数やζ関数を用いたような正当化もできていません。だから、この式は現在数学的にはそもそも成り立たないわけです。 しかしながら、数学界の巨人も含めて、なにか正当化する根拠がいずれみつかるのではと考える人がいるのは事実です。ひょっとしたら将来正当化できるような根拠が見つかり、0!=1のような書き方と同様に正しくなくとも理解される時は来るのかもしれません。
- 回答No.4
- Water_5
- ベストアンサー率17% (56/314)
log2+log3+log5+log7+・・・・・ ＝log(4π＾２） log(2x3x5x7x・・・・） ＝log(4π＾２） 故に ２ｘ３ｘ５ｘ７ｘ・・・ ＝4π＾２ おわり。
- 回答No.3
- f_a_007
- ベストアンサー率20% (955/4574)
＞それが現代数学では40未満になるそうですよ。 だから、「全ての素数の積は4π^2である！」に関しての誤解・曲解なんでは・・・
- 回答No.2
- info222_
- ベストアンサー率61% (1053/1707)
>すべての素数の積は、なぜ40未満なのですか？ それによると リーマンゼータ関数を使って求められていいます。 すべての素数の積=4 π^2 (≒39.4784 ...) かつ π^2≒(3.14159 .. )^2=9.8696 ... <10 なので すべての素数の積<40 (40未満) >2ｘ3ｘ5ｘ7で既に210ですが、無限に掛けると40未満になるそうです。 無限項積と有限項積の比較することはできません。 無限項積を有限項積から類推すること自体無理がある。 有限項積から類推しても無限大としか出てきません。 4 π^2の求め方は 参考URLをご覧になって勉強してください(大学数学レベルです)。
- 回答No.1
- f_a_007
- ベストアンサー率20% (955/4574)
Q、すべての素数の積は、なぜ40未満なのですか？ A、2ｘ3ｘ5ｘ7で既に210。40未満なわけがない。 多分、2chかなんかでのやり取り・記述を読み間違ったのでは・・・
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質問者からの補足
それが現代数学では40未満になるそうですよ。自然数の世界の計算では辿り着けないようです。