クールノー均衡

質問

クールノー均衡点が安定であることの証明がわかりません。
どうやら式で証明するみたいなんですが、
さっぱりわからないのでおねがいします！！
急いでいます！！

回答No.1

Cain

答えてあげたいですが，質問があいまいですので，なんといっていいのか・・・．
あと，安定っていう意味をお分かりでなく使ってるかもしれません．

均衡（点）が安定という経済学の用語は，
（１）時間がたつにつれてその均衡（点）に経済が向かう．
（２）誰にとっても，その均衡（点？）から動くような（＝その均衡（点）で選択している行動と異なる行動を選択するような）インセンティブがないような経済状態であること．
のふたつがあり，基本的に考えが違いますよ．

大学生の方だったら，クールノー均衡（点？）といえば，時間の動きを考えない静学的分析で，２つの企業による複占市場での話ではないですかね．そうした場合，均衡が安定というのは（２）の方です．

さっぱりわからないとかいてますので，ほぼ証明しておきますが，ちゃんと考えてくださいね．以下で出てくる，a,b,cなどは実際に数値をいれてやってみるといい練習問題になるはずです．

設定：同じ財Xを生産する企業Aと企業Bが存在している．財の市場での需要関数P=a-bXはわかっている．
Aの利潤関数はPXA-cXAだが，需要関数はわかっているので，(a-b(XA+XB)XA-cXAと書ける．
Bの利潤関数はPXB-cXBだが，需要関数はわかっているので，(a-b(XA+XB)XB-cXB
とかける．

（１）AはBの生産量XBをあたかも固定されたものとして自分にとって最適な生産量XAを求める．（利潤最大化）
（２）BはAの生産量XAをあたかも固定されたものとして自分にとって最適な生産量XBを求める．　（利潤最大化）
（３）Aの最適解XAはXBの関数になっているはずだし，Bの最適解XBはXAの関数になっているはず．この連立方程式を解けば，両企業が最適行動をとっているような，XAとXBが導けます．これをXA#，XB#とします．つまり，AがXA#生産するときは，BはXB#生産し，BがXB#生産するときは，AはXA#生産します．この生産量はともに，最適解ですから，この状態（XA#，XB#）は均衡です．これは，両企業の行動仮説を（１）や（２）のように考えたらでてくる均衡です．この均衡を，クールノー均衡といったりナッシュ均衡と言ったりします．
（４）この均衡が安定かどうかを示すには，Aは，BがXB#のときには，XA#以外を選ぶようなことはしない，つまり，XA#以外の生産をすると利潤が下がることを，Bは，AがXA#のときには，XB#以外を選ぶようなことはしない，つまり，XB#以外の生産をすると利潤が下がることを，示せばいいのです．
（５）利潤ですが，AとBの生産量を足すと市場全体の生産量になるので，均衡生産量を需要関数に入れると財の市場価格が決まるP#＝a-b(XA#+XB#)ので，
企業Aの均衡利潤は(a-b(XA＃+XB＃)XA＃-cXA＃と書ける．XBを固定したときにAの利潤を最大にする生産量というXA#の定義から，XA#ではないXAに対しては，
(a-b(XA＃+XB＃)XA＃-cXA＃＞(a-b(XA+XB＃)XA-cXA
の不等号が成立します．（等号が入ってもいいのですが，無い方がわかりよい）．
同じことが企業Bにもいえます．
つまり，相手が＃付きの生産量を選んでいるときはこちらも＃付きの生産を選ぶのが最善ということになるのです．つまり，クールノー均衡が安定ということがいえるわけです．

ではでは．