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回路の問題 最大消費電力

電気回路の問題です。写真の回路において、Cの値だけを調整してRの消費電力Pを最大にするには、Cの値をいくらにすればよいか、さらにRとCの両方を調整してPを最大にするにはRおよびCをいくらにすればよいか という問題があるのですがやり方がわかりません。答えは解説がないタイプで困っています。与えられている数値は ベクトルE=100∠0°【V】、L=0.05【H】、f=50【Hz】、R=20【Ω】、R1=30【Ω】、C=200【μF】です(CとRを変更すること) となっています。 お手数おかけしますがよろしくお願いします。

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  • 回答No.3
  • info222_
  • ベストアンサー率61% (1053/1706)

>ベクトルE=100∠0°【V】、L=0.05【H】、f=50【Hz】、R=20【Ω】、R1=30【Ω】、C=200【μF】 ω= 2πf=2π*50=100π [rad/s] , XL=2πf L=100π*0.05=5π [Ω], XC=1/(ωC)=1/(100πC) [Ω] >Cの値だけを調整してRの消費電力Pを最大にするには、Cの値をいくらにすればよいか、 E=(R1+R) I + j (ωL-1/ωC) I =(R1+R) I + j (XL-XC) I=E / {(R1+R)+j (XL-XC) } =100 / { 30+R+j (5π-1/(100πC))} | I |^2=[100 / { 30+R+j (5π-1/(100πC))}]*[100 / { 30+R-j (5π-1/(100πC))}] =10000/{ (30+R)^2+(5π-1/(100πC))^2 } =10000/ { (30+R)+(5π-1/(100πC))^2 } P=R | I |^2=10000R/{(30+R)^2+(5π-1/(100πC))^2 } >Rの消費電力Pを最大にするには 5π-1/(100πC)=0 C=1/(100π*5π)=1/(500π)^2 [F] ≒0.4053*10^-6 [F] =0.4053 [μF] =405.3 [nF] ... (Ans.) >さらにRとCの両方を調整してPを最大にするにはRおよびCをいくらにすればよいか P=R | I |^2=10000R/{(30+R)^2+(5π-1/(100πC))^2 } Cだけを変化させた時にPPを最大にするCが C =405.3 [nF] であり この時のPの最大値は P=10000R/(30+R)^2 さらにRを変化させる。 dP/dR=(10000(30-R))/(R+30)^3 0<R<30の時 dP/dR>0, R>30の時 dP/dR<0 なので dP/dR=0の時(R=30[Ω]の時) Pは最大値Pmax=10000*30/(30+30)^2=250/3≒83.3 [W] をとる。 (Ans.) R=30 [Ω], C =405.3 [nF]

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  • 回答No.2
  • inara1
  • ベストアンサー率78% (652/834)

以下に計算方法を書きますが、途中の式変形が間違っているかもしれないので、ご自分で計算してみて確認してください。 電源 Eにつながっている素子は全て直列ので、そのインピーダンス Z は Z = R1 + R + j*ω*L + 1/(j*ω*C) = R1 + R + j*{ ω*L - 1/(ω*C) } です。j は虚数単位です。 ここで X を実数として X = ω*L - 1/(ω*C) とおくことにします。そうすると Z = R1 + R + j*X と少し簡単になります。 回路に流れる電流 I は I = E/Z = E/( R1 + R + j*X ) ですが、この電流は4つの素子すべてに同じ電流が流れるので、抵抗 R にも I の電流が流れます。したがって、R の両端の電圧 V は、オームの法則から V = I*R となります。R が消費する電力 P は、電流と電圧の積なので P = I*V = R*I^2 = R*E^2/( R1 + R + j*X )^2 = R*E^2/{ ( R1 + R )^2 - X^2 + j*2*X*( R1 + R ) } となります。 この式は複雑に見えますが、A と B を実数としたとき P = R*E^2/( A + j*B ) という形になっています。P は複素数ですが、このような形のとき、Pの大きさ |P| は |P| = R*E^2/√( A + j*B ) で表わされます。 問題は |P| が最大となる条件を求めることですが、√ を消すために、|P|^2を計算することにします。そうすると |P|^2 = ( R*E^2 )^2/[ { ( R1 + R )^2 - X^2 }^2 + { 2*X*( R1 + R ) }^2 ] = R^2*E^4/{ ( R1 + R )^4 + X^4 - 2*X^2*( R1 + R )^2 + 4*X^2*( R1 + R )^2 } = R^2*E^4/{ ( R1 + R )^4 + X^4 + 2*X^2*( R1 + R )^2 } = R^2*E^4/{ X^2 + ( R1 + R )^2 }^2 となります。RもX^2 + ( R1 + R )^2も正の数なので |P| = R*E^2/{ X^2 + ( R1 + R )^2 } となります。 X は ω の関数で、R*E^2 や ( R1 + R )^2 は ω の関数ではないので、ω が変化したときに |P| が最大となるのは X^2 が最小となる場合( X = 0 の場合)です。X というのは X = ω*L - 1/(ω*C) だったので、これが 0 となるのは ω*L = 1/(ω*C) の場合、つまり C = 1/(L*ω^2) のときです。f を周波数、πを円周率とすれば、ω = 2*π*f なので C = 1/(4*π^2*f^2*L) となります。これが一方の解です。 Cの値だけ調整し て|P| が最大となるのはこの式から計算すればいいです。Rの値が何であっても、C = 1/(4*π^2*f^2*L) のときに |P| は最大になります。f = 50 Hz、L = 0.05 H からC= 50.6 μF となります。 一方、C と R の値を変えたときに |P| を最大にする条件のうち、C の値は上と同じです。つまり X = 0 のときです。X =0 のとき |P| = R*E^2/( R1 + R + j*X )^2 = R*E^2/( R1 + R )^2 なので、これが最小となる R の値を求めれば、その R がもう一方の解になります。 |P| が最小になるとき、|P| を R で微分したものが0となります。|P| の右辺は分子にも分母にもRがある分数の形をしていますが、商の微分公式を忘れてしまっても、積の微|P| = R*E^2/( R1 + R )^2 = E^2*R*( R1 + R )^(-2) と積の形で表わせば dP/dR = E^2*{ ( R1 + R )^(-2) - R*2*( R1 + R )^(-3) } = E^2*( R1 + R - 2*R )/( R1 + R )^3 = E^2*( R1 - R )/( R1 + R )^3 となります。これが0となるのはR = R1の場合です。 最初に、X = ω*L - 1/(ω*C) と置きましたが、Xと置かないでωのまま計算して、Pをωで微分すると大変なことになります。

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  • 回答No.1

まず最初に Rの消費電力を求める式を導いてください。 そうすると、それがf=2πωによって変化することが理解できるはずです。 じゃあ、fが幾つの時に最大値となるかというと 後は微分して考えることになります。 電池に接続した負荷の最大消費電力という観点で 高校の物理で学んでいるはずです。

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