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補題とは
シューアの補題とか言いますが、「補題」って何のことなのでしょうか？ 補の意味は何かの補助とか付録のような意味があるのでしょうか？ シューアの補題を例に簡単な言葉だけで教えて頂ければ嬉しいです。
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補題というのは、元々は、ある人が論文の中である命題を証明しようとしていて、その途中で必要なある命題を「補題」として証明したのだけど、実はその補題は元々の論文で証明しようとしていた事以外にも色々な場面で使えるよね、という事が分かってその補題が広く使われている、といった感じです。その元々の論文で証明しようとしていた「定理」よりも、後に途中で証明された補題の方が後に重要視されることはざらにあります。 なので、補題、という名前はその命題が出て来た経緯による、と言った感じで、つまり補題という名前だから定理より重要でないとかそういうのではないです。
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- tmpname
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> 「すべてのγ^u(u=0,1,2,3)と可換な行列は、４行4列の単位行列の定数倍に限る」 えっとですね、これは見ての通り、4次正方行列の積の場合だけについて述べてますね。 Schurの補題の本来の形は、この「4次正方行列の積の場合だけ」というのではなくて、もっと色々な場面で使える形で定式化されているのです。 この > 「すべてのγ^u(u=0,1,2,3)と可換な行列は、４行4列の単位行列の定数倍に限る」 というのが、既にSchurの補題を「4次正方行列の積の場合に当てはめた場合」になっているのです。
補足
ご回答有難う御座います。 ＞というのが、既にSchurの補題を「4次正方行列の積の場合に当てはめた場合」になっているのです。 「すべてのγ^u(u=0,1,2,3)と可換な行列は、４行4列の単位行列の定数倍に限る」が、Schurの補題の4次正方行列の積の場合だけについて述べていることは解りました。 例えば、解りやすい「定理」の例で「外角定理で三角形の内角の和は１８０度です。（ユークリッド空間）」があります。「定理」とは違う「補題」の例はないでしょうか？ 気持ちとしましては、「補題」とか使わずにすべて「定理」とか「法則」と呼べば良いと思うのですが、、、なぜわざわざ「補題」と呼ぶのか？解らないです。
群や代数の範疇での質問と理解して回答いたします。 シューアはご存知の通り、ドイツ人の数学者で Issai Schur です。 ドイツ語の ''Das Lemma von Schur " のことですよね? ドイツ語Lemma の意味は、そもそも「補助定理、前提条件」という意味です。 日常的な使い方での、ある命題を補う形での論理的に後から説明するという語義ではありません。
補足
ご回答有難う御座います。 ＞ドイツ語Lemma の意味は、そもそも「補助定理、前提条件」という意味です。 すいません。よくわかりません。 シューアの補題とは、「すべてのγ^u(u=0,1,2,3)と可換な行列は、４行4列の単位行列の定数倍に限る」（物理の本から抜粋）とのことですが、「シューアの定理」と言ってもOKなのでしょうか？なぜ、わざわざ「補題」と呼ぶのでしょうか？
- f272
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> シューアの補題とか言いますが、「補題」って何のことなのでしょうか？ > 補の意味は何かの補助とか付録のような意味があるのでしょうか？ 定理と同じです。しかし通常の定理と違って，別の定理の証明を助けることを目的としています。補助定理と言い換えることもできます。
補足
ご回答有難う御座います。 シューアの補題とは、「すべてのγ^u(u=0,1,2,3)と可換な行列は、４行4列の単位行列の定数倍に限る」（物理の本から抜粋）とのことですが、これは別の定理の証明を助けることになのですね。 別の定理とは、どのような定理なのでしょうか？
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