数1A 平面上の点の移動と反復試行

質問

この問題がわかりません。どなたか教えてください。問題は写真にあります。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

No.2&3です。念のために普通に計算した解法です。

以下北へ行くことをNで、東に行くことをEで表します。題意からPを通るのは5回の選択の中に、Nが3回、Eが2回含まれる場合です。
この組み合わせの総数は、同じものを含む順列だから、5!/(3!・2!)=10(通り)です。

ただし、経路によって確率が異なります。3回目のNが出るまでの選択の確率はすべて1/2ですが、3回目のNが出た後は最も北の道に到達したということですので、その後は選択の余地がなく、確率は1です。

例えば「NNNEE」の場合、3回北に行った後は東に進み続けるほかないので、確率は(1/2)^3×1×1=1/8です。

以下場合分けすると
１）3回目のNが3回目に出た場合(NNNEE)、確率は上記の1/8です。

２）3回目のNが4回目に出た場合(ENNNE)(NENNE)(NNENE)の3通り
　　確率は(1/2)^4×1×3=3/16　です。

３）3回目のNが5回目に出た場合(残りの6通り）
　　確率は(1/2)^5×6=3/16　です。

求める確率は１）２）３）の合計だから、1/8+3/16+3/16=1/2　です。

回答No.5

f272

#1です。
ちょっとおかしかったね。#2さんの回答を参考にしてください。

回答No.3

staratras

この問題、実は面倒な計算をしなくても答えが出ます。

ある点を通る確率は、一つ西側の点を通る確率に１/2をかけたものと一つ南側の点を通る確率に1/2をかけたものの和です。（どちらか一方しかなければその確率と同じです）

つまり、Pを通る確率を考える場合、Pより東側はいくつ道があっても関係ありません。ただしPのところで切ってしまうと、Pがゴールになり、問題の確率と違ってしまうので、もう一つ先のところまで考えて3×3とします。（下の図）

Pを通る確率をxとすると、図の対称性からABに対してPと対称の位置にある点P'を通る確率もxです。PおよびP'からは、ゴールのBに行く一方通行で、ゴールインする確率はもちろん1なので、x+x=1　が成り立ちます。これを解けばx=1/2　です。

回答No.2

staratras

このくらいの経路であれば、図の中の格子点を通る確率を書き入れた方が早いと考えます。

北へ行くか東に行くかは等確率ということは、最初の選択もそれぞれ1/2ずつということです。最も南の道の東行きと、最も西の道の北行きは、最初の角にぶつかるまで格子点を通る確率が/4、1/8、と半減します。（東行きは1/16まで、北行きは1/8まで）

最も外側以外の格子点では例えば、Aから東と北にそれぞれ1つずつ進んだ点を通る確率は、
北→東（1/2×1/2=1/4）と、東→北（1/2×1/2=1/4）が合流しますのでその和1/4+1/4＝1/2です。

ここで注意すべきことは、北行きに3つ進んだ後はこれ以上北には行けないので、最も北側の道を東に行かざるを得ないということです。その最も北側の道の格子点には一つ南の格子点からの北行きが加わっていきますので、東側に行くほど通る確率が高くなります。そしてゴールのBでは1になるはずです。

このようにしてすべて計算してみたのが下の図で、Pを通る確率は1/2です。

この問題で注意すべきことは、AからBまでの題意を満たす経路は、最短経路なのでどれも北に3つ東に4つ進むという点では同じですが、通る確率は異なり同等ではないことです。

回答No.1

f272

AからPに行く場合の数は5C3とおり=10
PからBに行く場合の数は1とおり=1
AからBに行く場合の数は7C3とおり=35
したがってAからBに行く途中でPお通る確率は10/35=2/7

AからBに行く場合の数がなぜ7C3で計算できるかと言えば，北を3個と東を4個を適当な順番に並べて7個にするとAからBに行く道順がひとつ決まるので，7個の場所のうち3個を北にして残りを東にしたと思えばよい。